개요
Fixed point란 F(X) = X를 만족시키는 점들을 말한다.
- x 는 만약 [math]\displaystyle{ f : A \rightarrow A, x \in A }[/math]을 만족시키면 fixed point이다.
이때 함수가 Monotonic function이고, Partial order이 정의되어 있다면, 항상 제일큰 fixed point와 가장 작은 fixed point가 존재할 것이다.
- leat fixed point: Monotonic 그리고 partial order인 집합 A에서, 제일 작은 fixed point
- Theoren
- Kleene Fixed Point
[math]\displaystyle{ f: D \rightarrow D }[/math]가 Complete partial order D에 대해서 연속 함수일때 f는 least fixed point lfp를 가진다. [math]\displaystyle{ \textrm{lfp}(f) = \sup \left(\left\{f^n(\bot) \mid n\in\mathbb{N}\right\}\right) }[/math]
위 수식이 의미하는 바는, 수치 해석의 뉴턴법과 같은 점근을 통해서 해를 구하는 방식과 유사하다. 증명은 간단한데, f(x) = x이기 떄문에 f는 단조 증가 함수이다 (Monotonous increasing function). 따라서 귀납법에 의하여,
- [math]\displaystyle{ \bot \sqsubseteq f(\bot) \sqsubseteq f(f(\bot)) \sqsubseteq \cdots \sqsubseteq f^n(\bot) \sqsubseteq \cdots }[/math]
가 성립하며, 최초에는 당연히 bottom보다 크거나 작기 때문에, 귀납법에 의해서 특정 fixed point의 값으로 수렴함을 알 수 있다.