개요
최대 사후 확률(最大事後確率, maximum a posteriori, MAP)은 베이즈 통계학에서 사후 확률(事後確率)의 최빈값을 가리킨다. 최대 사후 확률에 대응하는 모수(母數, Parameter)는 최대우도(最大尤度, maximum likelihood estimation, MLE)와 마찬가지로 모수의 점 추정으로 사용할 수 있지만, 최대우도에서는 어떤 사건이 일어날 확률을 가장 높이는 모수를 찾는 것에 비해, 최대 사후 확률 모수는 모수의 사전 확률(事前確率)과 결합된 확률을 고려한다는 점이 다르다.
방식
어떤 모수 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]의 사전 확률 분포가 [math]\displaystyle{ p(\theta) }[/math]로 주어져 있고, 그 모수에 기반한 조건부 확률분포 [math]\displaystyle{ f(x|\theta) }[/math]와 그 분포에서 수집된 값 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 주어져 있다. 이때 모수의 사후 확률분포는 베이즈 정리에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ p(\theta|x) = \frac{f(x|\theta)p(\theta)}{\displaystyle\int f(x|\theta')p(\theta') d\theta'} }[/math]
여기에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 주어져 있기 때문에 분모는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에 대해 상수가 된다. 여기에서 최대 사후 확률 모수는 다음과 같이 정의된다.
- [math]\displaystyle{ \hat{\theta}_{\mathrm{MAP}} := \underset{\theta}{arg\,max} \ \frac{f(x|\theta) p(\theta)} {\displaystyle\int f(x | \theta') p(\theta') \, d\theta'} = \underset{\theta}{arg\,max} \ f(x | \theta) p(\theta) }[/math]
최대우도의 정의 [math]\displaystyle{ \hat{\theta}_{\mathrm{ML}} := \underset{\theta}{arg\,max} f(x|\theta) }[/math]와 비교해보면, 최대 사후 확률은 사전 확률 [math]\displaystyle{ p(\theta) }[/math]가 추가되었다는 것을 볼 수 있다.