개요
함수의 정적분을 해석적인 방식으로 구하는 것이 아니라 구간을 아주 작게 분할해서 근사값을 구하는 방법중 하나로써, 함수의 구간을 사다리꼴 형식으로 나눈다.
정의
닫힌구간 [math][t_0,t_N][/math] 위의 적분 가능 함수
- [math]f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R[/math]
및 수열
- [math]t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N[/math]
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분
- [math]F = \int_{t_0}^{t_N}f(x)\,\mathrm dx[/math]
의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.
- [math]\tilde F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1} - t_i) (f(t_{i+1}) + f(t_i))}2[/math]
특히, [math]N=1[/math]일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.
- [math]\tilde F = \frac{(t_1 - t_0)(f(t_1) + f(t_0))} 2[/math]
성질
사다리꼴 공식 근사의 오차
- [math]\tilde F - F[/math]
를 생각하자. 만약 [math]f[/math]가 [math]\mathcal C^2[/math] 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 [math]\xi\in[t_0,t_N][/math]가 존재한다.
- [math]\tilde F - F = \frac1{12}f''(\xi)\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)^3 [/math]
증명:
다음과 같은 함수들을 정의하자.
- [math]g_i \colon [0,t_{i+1}-t_i] \to \mathbb R[/math]
- [math]g_i(s) = \frac12 s(f(t_i) + f(t_i+s)) - \int_{t_i}^{t_i+t}f(x)\,\mathrm dx[/math]
즉,
- [math]\tilde F - F = \sum_{i=0}^{N-1} g_i(t_{i+1}-t_i)[/math]
이다. 그러면
- [math]g_i(0) = g_i'(0) = g_i''(0) = 0[/math]
- [math]g_i'(s) =\frac12\left(f(t_i) - f(t_i+s)\right) + \frac12sf'(t_i+s)[/math]
- [math]g_i''(s) = \frac12 sf''(t_i+s)[/math]
이다. 즉,
- [math]K = \min_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)[/math]
- [math]L = \max_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)[/math]
를 정의하면,
- [math]\frac12Ks\le g''_i(s) \le \frac12Ls[/math]
이며, 이를 두 번 적분하면
- [math]\frac1{12}Ks^3 \le g_i(s) \le \frac1{12}Ls^3[/math]
가 된다. 즉,
- [math]\frac K{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 \le \tilde F-F \le \frac L{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 [/math]
이다. [math]f''[/math]가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라
- [math]f''(\xi) = \frac{\tilde F-F}{\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3}[/math]
인 [math]\xi\in[t_0,t_N][/math]가 존재한다.
특히, 만약 [math]t_i[/math]들이 산술 수열을 이룬다면,
- [math]\frac1{12}\sum_{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_i)^3 = \frac{(t_N-t_0)^3}{12}N^{-2}[/math]
가 된다. 즉, [math]N\to\infty[/math]일 때, 오차는 [math]N^{-2}[/math]의 속도로 0으로 수렴한다.
특히, 만약 [math]f''[/math]가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 [math]\tilde F[/math]는 [math]F[/math]보다 더 작으며, 반대로 [math]f'''[/math]가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 [math]\tilde F[/math]는 [math]F[/math]보다 더 크다.
요약
- 사다리꼴 적분은 해석적인 적분을 사다리꼴로 근사시켜서 적분한다.
- 오차는 구간크기의 3차이다.