선형대수학에서, 가우스 소거법은 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.
정의
체 [math]K[/math]에 대하여, [math]n[/math]개의 미지수에 대한 [math]m[/math]개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식
- [math]Mx=0[/math]
이 주어졌다고 하자. 여기서
- [math]M=\begin{pmatrix} M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1,n+1}\\M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2,n+1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\M_{m1}&M_{m2}&\cdots&M_{m,n+1}\end{pmatrix}[/math]
은 주어진 [math]m\times(n+1)[/math] 행렬이고,
- [math]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\1\end{pmatrix}[/math]
은 [math]n[/math]개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다.
- [math]M_{11}x_1+M_{12}x_2+\cdots+M_{1,n}x_n+M_{1,n+1}=0[/math]
- [math]M_{21}x_1+M_{22}x_2+\cdots+M_{2,n}x_n+M_{2,n+1}=0[/math]
- [math]\vdots[/math]
- [math]M_{m1}x_1+M_{m2}x_2+\cdots+M_{m,n}x_n+M_{m,n+1}=0[/math]
기본 행 연산
이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산이라고 한다.
- (행의 치환) [math]M[/math]의 [math]i[/math]번째 행과 [math]j[/math]번째 행을 서로 바꾼다.
- (행의 상수곱) [math]i[/math]번째 행을 0이 아닌 임의의 상수 [math]a\in K\setminus\{0\}[/math]으로 곱한다.
- (행의 합) 임의의 상수 [math]a\in K[/math]에 대하여, [math]i[/math]번째 행의 [math]a[/math]배를 [math]j[/math]번째 행에 더한다.
행사다리꼴행렬
일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은,
[math]m\times(n+1)[/math] 행렬 [math]M[/math]에 대하여, [math]j_0(i)=\min\{j\le n\colon M_{ij}\ne0\}[/math]이라고 하면, [math]M_{i,j_0(i)}[/math]를 [math]i[/math]번째 행의 선행 계수(先行係數, 틀:Llang)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.
[math]m\times(n+1)[/math] 행렬 [math]M[/math]이 다음 조건을 만족시키면, [math]M[/math]을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 틀:Llang)이라고 한다.
- 만약 [math]0=M_{i1}=\cdots=M_{in}[/math]이라면, 모든 [math]i\le i'[/math]에 대하여 [math]0=M_{i'1}=\cdots=M_{i'n}[/math]이다.
- 만약 [math]i\lt i'[/math]이며 [math]j_0(i)[/math]와 [math]j_0(i')[/math]가 존재한다면, [math]j_0(i)\lt j_0(i')[/math]이다.
[math]m\times(n+1)[/math] 행렬 [math]M[/math]이 다음 조건을 만족시키면, [math]M[/math]을 기약행사다리꼴행렬(旣約行사다리꼴行列, 틀:Llang)이라고 한다.
- [math]M[/math]은 행사다리꼴행렬이다.
- [math]j_0(i)[/math]가 존재한다면, [math]M_{i,j_0(i)}=1[/math]이며, 모든 [math]i'\ne i[/math]에 대하여 [math]M_{i',j_0(i)}=0[/math]이다.
즉, 행사다리꼴행렬은 행렬의 항들이 대략 위에는 사다리꼴, 밑에는 0인 형태의 행렬이다. 기약행사다리꼴행렬 조건은 행사다리꼴행렬 조건보다 더 강한 조건이다.
예를 들어, 다음과 같은 행렬은 행사다리꼴행렬이다.
- [math]\begin{pmatrix} 1 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 0 & 2 & a_4 & a_5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a_6 \end{pmatrix} [/math]
다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다.
- [math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & a_1 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & a_3 & 0 & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a_5 \end{pmatrix} [/math]
가우스 소거법
가우스 소거법은 [math]m\times n[/math] 행렬 [math]M[/math]을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 [math]j_1\le n[/math]을 찾는다.
- [math]M_{1j_1}=0[/math]이라면, 첫번째 행을 [math]M_{i_1j_1}\ne0[/math]인 어떤 [math]i_1\gt 1[/math]번째 행과 치환한다.
- 모든 [math]i\gt 1[/math]번째 행에 첫번째 행의 [math]-M_{ij_1}/M_{1j_1}[/math]배를 더해, [math]M_{1j_1}[/math] 밑의 항들을 0으로 만든다.
그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 어떤 [math]i\ge2[/math]번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 [math]j_2\le n[/math]을 찾는다.
- [math]M_{2j_2}=0[/math]이라면, 두번째 행을 [math]M_{i_2j_2}\ne0[/math]인 어떤 [math]i_2\gt 2[/math]번째 행과 치환한다.
- 모든 [math]i\gt 2[/math]번째 행에 두번째 행의 [math]-M_{ij_2}/M_{2j_2}[/math]배를 더해, [math]M_{2j_2}[/math] 밑의 항들을 0으로 만든다.
뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, [math]k[/math]번째 행은 다음과 같이 처리한다.
- 어떤 [math]i\ge k[/math]번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 [math]j_k\le n[/math]을 찾는다.
- [math]M_{kj_k}=0[/math]이라면, [math]k[/math]번째 행을 [math]M_{i_kj_k}\ne0[/math]인 어떤 [math]i_k\gt k[/math]번째 행과 치환한다.
- 모든 [math]i\gt k[/math]번째 행에 [math]k[/math]번째 행의 [math]-M_{ij_k}/M_{kj_k}[/math]배를 더해, [math]M_{kj_k}[/math] 밑의 항들을 0으로 만든다.틀:Sfn
만약 어떤 [math]j_{r+1}\le n[/math]가 존재하지 않는다면, [math]r[/math]번째 행에서 멈춘다. 만약 항상 [math]j_k\le n[/math]를 찾을 수 있다면, 모든 [math]k=1,2,\ldots,m[/math]번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며, [math]r=n[/math]으로 둔다. 기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 [math]j_k=j_r,j_{r-2},\ldots,j_1[/math]에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.
- [math]k[/math]번째 행에 [math]1/M_{kj_k}[/math]를 곱해, [math]M_{kj_k}[/math]를 1로 만든다.
- 모든 [math]i\lt k[/math]번째 행에 [math]k[/math]번째 행의 [math]-M_{ij_k}[/math]배를 더해, [math]M_{kj_k}[/math] 위의 항들을 0으로 만든다.
여기서 [math]r\le m[/math]이며 [math]r\le n[/math]인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다.
- 기약행사다리꼴행렬의 과정을 특히 조단이 제시한 "가우스 조단 소거법"으로 부른다.
성질
기본행연산
세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다.
- 행의 치환의 역연산은, 자기 자신이다.
- 행의 상수곱의 역연산은, 그 행에 그 상수 대신 역수를 곱하는 것이다.
- 어떤 행에 다른 행의 배수를 더하는 것의 역연산은, 더하는 대신 빼는 것이다.
두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다.
기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다.
행사다리꼴행렬
가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다.
[math]m\times(n+1)[/math] 행사다리꼴행렬 [math]R[/math]에 대한 연립일차방정식 [math]Rx=0[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 존재한다.
- 상수항이 0이 아닌 행이 존재하지 않는다. (상수항은 [math]n+1[/math]번째 열의 항, 0행은 선행 계수가 없는 행을 뜻한다.)
해가 존재하는 [math]Rx=0[/math]의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하다.
- [math]r=n[/math]. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수와 같다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재하지 않는다.
달리 말해, 해가 존재하는 [math]Rx=0[/math]의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하지 않다. (체의 표수가 0이라면, 이는 해가 무한히 많은 것과 동치이다.)
- [math]r\lt n[/math]. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수보다 적다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재한다.
행렬식의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다.
- 기본행연산을 가하면, 행렬식은 "상수배" 변화하며, 주어진 기본행연산이 행렬식을 변화시키는 배수는 자명하다. 즉,
- 행을 치환하면, 행렬식은 -1배가 된다.
- 행에 상수곱을 하면, 행렬식은 그 상수의 역수배가 된다.
- 어떤 행에 다른 어떤 행의 상수배를 더하면, 행렬식은 변하지 않는다.
- 가우스 소거법을 통해 행렬을 행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 특히 정사각행렬이므로, 이는 0행(즉 모든 항이 0인 행)을 갖거나, 상삼각행렬이다.
- 0행을 갖는 정사각행렬의 행렬식은 0이다.
- 상삼각행렬의 행렬식은 모든 대각항의 곱이다.
역행렬의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다. [math]n\times n[/math] 행렬 [math]M[/math]의 역행렬은 다음과 같이 계산한다. [math]M[/math]에 [math]n\times n[/math] 단위행렬을 추가하여 [math]n\times 2n[/math] 행렬로 만든다.
- [math]\begin{pmatrix}M_{1,1}&\cdots&M_{1,n}&1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ M_{n,1}&\cdots&M_{n,n}&0&\cdots&1 \end{pmatrix}[/math]
이 행렬에 기본행연산을 가하여
- [math]\begin{pmatrix}1&\cdots&0&\tilde M_{11}&\cdots&\tilde M_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\ 0&\cdots&1&\tilde M_{n,1}&\cdots&\tilde M_{n,n} \end{pmatrix}[/math]
로 만든다면, 행렬 [math]\tilde M[/math]은 [math]M^{-1}[/math]과 같다.
- [math]\tilde M=M^{-1}[/math]
계수 계산
가우스 소거법을 사용하여 행렬의 계수를 계산할 수 있다. [math]m\times n[/math] 행렬 [math]M[/math]의 계수는 가우스 소거법을 가하여 얻는 행사다리꼴행렬에서 0이 아닌 행의 계수(즉, 선행 계수의 개수) [math]r[/math]이다.
예
- [math]\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 11 & 5 & 35 \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] [/math]
해가 유일한 연립 선형 방정식
다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자.
- [math]\begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ 4u &-& 6v && &=& -2 \\ -2u &+& 7v &+& 2w &=& 9 \end{matrix}[/math]
첫 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.
- 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다
- 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
그렇다면 다음과 같다.
- [math]\begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && 8v &+& 3w &=& 14 \end{matrix} [/math]
두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.
- [math]\begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && && w &=& 2 \end{matrix}[/math]
해가 유일하지 않거나 없는 연립 선형 방정식
- 정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예
(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)
- [math] \begin{cases} 10u + 2v + -1w & = \ 27 \\ -3u + -6v + 2w & = \ -61.5 \\ u + v + 5w & = \ -21.5 \end{cases} [/math]
- 비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예
(해가 없는 경우도 있다.)
- [math] \begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 2u + 2v + 5w & = \ ? \\ 4u + 4v + 8w & = \ ? \\ \end{cases} [/math]
- [math] \begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 3w & = \ ? \\ 4w & = \ ? \end{cases} [/math]
역행렬의 계산
다음과 같은 행렬 [math]M[/math]의 역행렬을 계산한다고 하자.
- [math]M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} [/math]
기본행연산을 가하면, 다음과 같다.
- [math]\begin{align} \begin{pmatrix} \ A &\vert& I \end{pmatrix} &\to \left( \left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\\ &\to\left(\left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\\ &\to\left(\left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -5 \\ \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 1 \\ \end{matrix}\right)\\ &\to\left( \left. \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 3.5 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right| \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 1.5 & 0.5 & 0 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right)\\ &\to\left( \left. \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 0.6 & 0.4 & -0.4 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right) \\ & \to \left( \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} -0.7 & 0.2 & 0.3 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}[/math]
따라서 [math]M^{-1}[/math]은 다음과 같다.
- [math]M^{-1}=\begin{pmatrix} -0.7 & 0.2 & 0.3 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \end{pmatrix}[/math]