개요
시스템이 다음과 같이 주어진경우:
- [math]\ y(t) = (h*x)(t) + n(t)[/math]
where [math]*[/math] denotes convolution and:
- [math]\ x(t)[/math] 시간 [math]\ t [/math] 에 관한 original signal.
- [math]\ h(t)[/math] 는 x(t)와 convolution연산을 통해 계산되는 함수
- [math]\ n(t)[/math] 추가적인 노이즈, [math]\ x(t)[/math] 와는 독립 변수임
- [math]\ y(t)[/math] y(t)는 현재 관측된 결과
라고 할때,
우리의 목표는 g(t)를 찾아서 x(t)를 다음과 같이 예측하는 것이다.
- [math]\ \hat{x}(t) = (g*y)(t)[/math]
여기서 [math]\ \hat{x}(t)[/math] 는 [math]\ x(t)[/math]의 근사로써 MSE를 최소화하도록 구현된다.
- [math]\ \epsilon(t) = \mathbb{E} \left| x(t) - \hat{x}(t) \right|^2[/math],
Wiener deconvolution은 [math]\ g(t)[/math]를 구할 수 있도록 하는데, 필터는 Frequency domain에서 정의된다.
- [math]\ G(f) = \frac{H^*(f)S(f)}{ |H(f)|^2 S(f) + N(f) }[/math]
where:
- [math]\ G(f)[/math] and [math]\ H(f)[/math] are the Fourier transforms of [math]\ g(t)[/math] and [math]\ h(t)[/math],
- [math]\ S(f) = \mathbb{E}|X(f)|^2 [/math] is the mean power spectral density of the original signal [math]\ x(t)[/math],
- [math]\ N(f) = \mathbb{E}|V(f)|^2 [/math] is the mean power spectral density of the noise [math]\ n(t)[/math],
- [math]X(f)[/math], [math]Y(f)[/math], and [math]V(f)[/math] are the Fourier transforms of [math]x(t)[/math], and [math]y(t)[/math], and [math]n(t)[/math], respectively,
- the superscript [math]{}^*[/math] denotes complex conjugation.
필터의 적용은 time domain에서 수행해도 되며, frequency도메인 에서 수행해도 된다.
- [math]\ \hat{X}(f) = G(f)Y(f)[/math]
최종적으로는 inverse Fourier transform 을 [math]\ \hat{X}(f)[/math] 에 대해 수행하여 [math]\ \hat{x}(t)[/math] 를 구하게 된다.