Edit Distance

개요

문자열을 비교할 때는 오탈자가 있는 문자열을 고려해야 하는 경우가 있으며, 이를 위해서 근사(approximate) 매칭이 필요하다. 이를 위해서 두 문자열이 얼마나 다른지를 측정하는 척도가 필요하며, 이를 Edit Distance라고 한다. 이는 문자열 A를 문자열 B로 바꾸기 위해 필요한 최소 변경 횟수에 해당한다. Edit Distance는 보통 세 가지 연산을 기반으로 한다:

Substitution (치환): 한 글자를 다른 글자로 바꾸기^[1]
Insertion (삽입): 문자 하나를 새로 삽입^[2]
Deletion (삭제): 문자 하나 삭제^[3]

Recursive Algorithm

Edit Distance 계산은 문자열 뒤에서부터 비교하면서 재귀적으로 해결할 수 있다. 이는 두 문자열 두 문자열 S[1..i], T[1..j]이 있을때 마지막 문자를 비교하여 해결할 수 있다. 만약 비교하는 두 문자가 같으면 비용 증가 없이 이전 문제로 이동한다.^[4] 반면 두 문자가 다른 경우에는 substitution을 통해 Edit Distance를 1 증가시킨다.^[5]

Recurrence Relation

위에서 설명한 원리를 점화식으로 풀면 아래와 같다:

[math]\displaystyle{ D[i, j] }[/math] is minimum of:
• [math]\displaystyle{ D[i - 1, j - 1] }[/math] if [math]\displaystyle{ S[i] = T [j] }[/math]: 둘이 같으면 비용 추가 안 됨
• [math]\displaystyle{ D[i - 1, j - 1] + 1 }[/math] if [math]\displaystyle{ S[i] \ne T [j] }[/math]: 둘이 다르면 substitution 필요
• [math]\displaystyle{ D[i, j - 1] + 1 }[/math] for an insertion into [math]\displaystyle{ S }[/math]: T에서 문자를 하나 가져오는 경우(insertion)
• [math]\displaystyle{ D[i - 1, j] + 1 }[/math] for a deletion from [math]\displaystyle{ S }[/math]: S에서 문자를 하나 버리는 경우(deletion)

각주

↑ 예를 들어, shot → spot의 경우는 ‘g’를 삽입하므로 Insertion 1회에 해당한다.
↑ 예를 들어, ago → agog의 경우는 ‘h’를 ‘p’로 바꾸므로 Substitution 1회에 해당한다.
↑ 예를 들어, hour → our의 경우는 ‘h’ 삭제 → Deletion 1회에 해당한다.
↑ (s[1..i-1], t[1..j-1])에 해당한다.
↑ 혹은 S에 문자를 추가하거나 삭제하는 방식을 취할 수도 있다.

[1] 예를 들어, shot → spot의 경우는 ‘g’를 삽입하므로 Insertion 1회에 해당한다.

[2] 예를 들어, ago → agog의 경우는 ‘h’를 ‘p’로 바꾸므로 Substitution 1회에 해당한다.

[3] 예를 들어, hour → our의 경우는 ‘h’ 삭제 → Deletion 1회에 해당한다.

[4] (s[1..i-1], t[1..j-1])에 해당한다.

[5] 혹은 S에 문자를 추가하거나 삭제하는 방식을 취할 수도 있다.

[1]

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[3]

[4]

[5]