상위 문서: 계산 이론 개론
개요
집합은 수학의 데이터 구조라고 할 수 있으며, 모든 수학적 객체는 순수 집합(pure sets)로부터 구성할 수 있다. 집합론은 작은 공리(axioms)들과 추론 규칙(rule of inference)를 통해 공식화될 수 있다.
Properties of Sets
Extensionality
집합론은 1차 논리(first-order logic)로 표현 가능하며, 이를 위한 기본 술어(predicates)는 [math]\displaystyle{ \in, = }[/math]이다. 이에 따라 두 집합이 같다는 것과 부분 집합 관계를 아래와 같이 표현할 수 있다:
[math]\displaystyle{ A = B \equiv \forall X. X \in A \leftrightarrow X \in B }[/math] [math]\displaystyle{ A\subseteq B \equiv \forall X. X \in A \rightarrow X \in B }[/math]
Comprehension and Empty Set
포괄성(Comprehension)은 집합 A와 조건(술어) P(X)가 주어지면, A 속에서 P(X)를 만족하는 원소만 모은 부분집합 B가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
[math]\displaystyle{ {X \in A. P(X)} }[/math]
공집합(Empty Set)아무 원소도 가지지 않는 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있으며, [math]\displaystyle{ \empty }[/math]또는 {}와 같이 표기한다:
[math]\displaystyle{ \exists A. \forall X. X\notin A }[/math]
Paring
임의의 두 집합 A, B에 대해, 이 둘을 원소로 가지는 집합이 존재하며, 이는 순서 없는 쌍(unordered pair)로 간주된다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:
[math]\displaystyle{ {A, B} }[/math]
Union and Intersection
합집합(Union)이란 A 또는 B에 속하는 원소들을 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:
[math]\displaystyle{ A \cup B \equiv \{X| X\in A \lor X\in B\} }[/math]
교집합이란 A와 B에 동시에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:
[math]\displaystyle{ A \cap B \equiv \{X| X\in A \land X\in B\} }[/math]
Big Union and Big Intersection
대합집합(Big-∪)이란 집합 A가 집합들의 집합일 때, A의 원소들 속에 들어 있는 모든 원소들의 모임을 의미한다. 또한 대교집합(Big-∩)이이란 집합 A의 원소들 모두에 공통으로 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같은 예시를 통해 나타낼 수 있다:
[math]\displaystyle{ A = \{\{1, 2\},\{2, 3\}\} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcup A = \{1,2,3\} }[/math] [math]\displaystyle{ \bigcap A = \{2\} }[/math]
Powerset
멱집합(Powerset)이란 어떤 집합 A가 있을 때, A의 부분집합들 전체를 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 정의된다:
[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(A) = {X|X\subseteq A} }[/math]
예를 들어:
[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\empty) = \{\empty\} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\empty)) = \{\empty, \{\empty\}\} }[/math]