개요

순서쌍 (a,b)에 대해서 관계를 정의하고, 그 관계를 통해서 나온

관계

집합 [math]X[/math] 위의 이항 관계 [math]\le[/math]가 다음 관계가 있다.

  • Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\le x[/math]
  • Anit-Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\not\lt x[/math]
  • Transitive: 임의의 [math]x,y,z\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le z[/math]라면 [math]x\le z[/math]
  • Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y[/math]라면 [math]y\le x[/math]
  • Anti-Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le x[/math]라면 [math]x=y[/math]

Equivalence (동치)

어떤것이 같다고 정의하는 가.

동치에서는 Reflexive, Trasitive, 그리고 Sysmmetric이 성립된다. 예를 들어서 a==b mod(10)관계는 동치이다. 이 경우 Anti-Symmetric은 만족하지 못한다. 예) mod 12 <= mod 22 <= mod 12 이지만, 12 == 22가 아니다.

Partial Order

어떻게 순서를 정의할 것인가.

Partial Order에서는 약한 부분 순서(weak partial order)와, 강한 부분 순서(strict partial order)가 있다. 둘다 Anti-Symmetric과 Transitive를 만족하지만, Reflexive의 정의에서 다른데, 약한 부분 순서는 반사(Reflexive)를 허용하지만 강한 부분 순서는 비반사(Anti-Reflexive)를 허용한다. 즉 부분 순서 집합은 (Anti)Relexive, Anti-Symmetric, 그리고 Transitive를 만족하는 집합이다.

Poset

집합 D가 Partial order이면 partial order set (D, <)라고 하거나 단순히 poset이라고 한다.

Least Upper Bound

Partial order set D 그리고 D의 부분집합 X에 대해서, 만약 d [math]\in[/math]가 모든 X의 원소 x에 대해서 x < d이면 d를 upperbound라고 하며, Least upper bound는 모든 Upper bound중에서 제일 작은 원소를 말한다. 즉 자연수의 집합 [1, 10]에서 Upper bound는 11, 12 ...가 될 수 있지만, Least upper bound는 11하나 뿐이다.

Total Order

Total order는 Partial order에 모든 원소는 서로 비교 가능하다는 조건인 Connectivity가 추가된 Order를 의미한다.

예를 들어서 {0, 1}의 subset인 공집합, {0}, {1}, 그리고 {0, 1}을 생각 해보자. Order을 원소의 개수라고 작은 순서라고 해보자. 공집합 < {0} 그리고 {1} < {0, 1}처럼 <라는 명령어를 정의할 수 있다. 이 명령어 "<"는 Partial Order이지만 Total Order는 아닌데, 이는 {0} < {1}이 정의되지 않기 때문이다.

Chain

Partial ordered set D에 대해서 D의 부분집합 X가 Total order set이면 X를 Chain이라고 한다.

예를 들어서 0->1->2->3->4->5 ...인 0을 포함한 양의 정수 집합이 있다고 하자. 이떄 (0) (0,1) (0,1,3)과 같은 집합들은 이 poset의 chain이다.

Complete partial order

poset D에 대해서 D의 모든 chain X가 least upper bound를 가지고 있으면 D를 Complete partial order집합이라고 한다.

Lemma: 만약 poset이 CPO면 poset은 least element를 가지며, 만약 공집합이 least element을 가지고 있다면, CPO의 least element는 공집합의 least element와 같다.

Continuous Function

연속 함수에 대한 많은 정의가 있을 수 있지만, Partial order로도 Continouous를 정의할 수 있다. 두 poset D1 D2에 대해서 F: D1 -> D2가 모든 체인들에 대해서 least upper bound가 보존되면 이 함수를 연속이다 라고 한다.

참고

  1. https://math.stackexchange.com/questions/367583/example-of-partial-order-thats-not-a-total-order-and-why