개요
순서쌍 (a,b)에 대해서 관계를 정의하고, 그 관계를 통해서 나온
관계
집합 [math]X[/math] 위의 이항 관계 [math]\le[/math]가 다음 관계가 있다.
- Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\le x[/math]
- Anit-Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\not\lt x[/math]
- Transitive: 임의의 [math]x,y,z\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le z[/math]라면 [math]x\le z[/math]
- Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y[/math]라면 [math]y\le x[/math]
- Anti-Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le x[/math]라면 [math]x=y[/math]
Equivalence (동치)
어떤것이 같다고 정의하는 가.
동치에서는 Reflexive, Trasitive, 그리고 Sysmmetric이 성립된다. 예를 들어서 a==b mod(10)관계는 동치이다. 이 경우 Anti-Symmetric은 만족하지 못한다. 예) mod 12 <= mod 22 <= mod 12 이지만, 12 == 22가 아니다.
Partial Order
어떤것이 순서를 정의하는 가.
Partial Order에서는 약한 부분 순서(weak partial order)와, 강한 부분 순서(strict partial order)가 있다. 둘다 Anti-Symmetric과 Transitive를 만족하지만, Reflexive의 정의에서 다른데, 약한 부분 순서는 반사(Reflexive)를 허용하지만 강한 부분 순서는 비반사(Anti-Reflexive)를 허용한다. 즉 부분 순서 집합은
Total Order
Total order는 Partial order에 모든 원소는 서로 비교 가능하다는 조건인 Connectivity가 추가된 Order를 의미한다.
예를 들어서 {0, 1}의 subset인 공집합, {0}, {1}, 그리고 {0, 1}을 생각 해보자. Order을 원소의 개수라고 작은 순서라고 해보자. 공집합 < {0} 그리고 {1} < {0, 1}처럼 <라는 명령어를 정의할 수 있다. 이 명령어 "<"는 Partial Order이지만 Total Order는 아닌데, 이는 {0} < {1}이 정의되지 않기 때문이다.