상위 문서: 계산 이론 개론
개요
수학적 활동은 결국 수학적 객체(objects)에 대한 명제(assertions)를 세우고 이를 증명(proof)하는 과정이다. 해당 문서에서는 이를 위해 필요한 개념들과, 증명에 필요한 구조에 대해서 다룬다.
Classification of Theorems
수학자들은 다양한 종류의 명제를 구분하기 위해서 다양하게 명명했다. 아래는 그 종류에 대한 표이다:
| 개념 | 의미 | 예시 |
|---|---|---|
| Theorem (정리) | 중요하고 의미 있는 결과 | 피타고라스 정리 |
| Proposition (명제) | 작은 정리, 덜 중요한 결과, 또는 증명 없이 인용되는 결과 | . |
| Lemma (보조정리) | 더 큰 정리를 증명하기 위해 필요한 중간 결과 | 조르당 보조정리 |
| Conjecture (추측) | 아직 증명되지 않았지만, 많은 증거와 직관으로 참일 것 같다고 믿는 주장 | 리만 가설 |
이외에도 중요도가 낮은 정리를 일컫는 말로 Scholium과 같은 용어가 사용되기도 한다.
Expressing Mathematical Assertions
명제를 구성하기 위해서는 여러 개념들이 필요하다. 아래는 그러한 개념들을 정리한 것이다:
| 개념 | 의미 | 예시 |
|---|---|---|
| Predicates(술어/조건식) | 변수에 값을 대입하면 비로소 참/거짓이 결정되는 문장의 틀 | isEven(x) |
| Propositional connectives(명제 연결자) | 참/거짓이 정해진 명제들을 논리적으로 합성해 새로운 명제를 만드는 데 사용 | [math]\displaystyle{ \neg, \lor, \land, \rightarrow, \leftrightarrow }[/math] |
| Quantifiers(수량자) | [math]\displaystyle{ \forall x P(x) }[/math] = “모든 x에 대해 P(x)”, [math]\displaystyle{ \exists x P(x) }[/math] = “어떤 x가 있어서 P(x)”. | [math]\displaystyle{ \forall, \exists }[/math] |
| Constants(상수) | 값이 이미 정해져 있는 고정된 기호 | 0, 1, 3, π, e |
| Variables(변수) | 맥락에 따라 값이 달라지는 기호들 | [math]\displaystyle{ x, y }[/math] |
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