Sets

상위 문서: 계산 이론 개론

개요

집합은 수학의 데이터 구조라고 할 수 있으며, 모든 수학적 객체는 순수 집합(pure sets)로부터 구성할 수 있다. 집합론은 작은 공리(axioms)들과 추론 규칙(rule of inference)를 통해 공식화될 수 있다.

Properties of Sets

Extensionality

집합론은 1차 논리(first-order logic)로 표현 가능하며, 이를 위한 기본 술어(predicates)는 [math]\displaystyle{ \in, = }[/math]이다. 이에 따라 두 집합이 같다는 것과 부분 집합 관계를 아래와 같이 표현할 수 있다:

[math]\displaystyle{ A = B \equiv \forall X. X \in A \leftrightarrow X \in B }[/math]
[math]\displaystyle{ A\subseteq B \equiv \forall X. X \in A \rightarrow X \in B }[/math]

Comprehension and Empty Set

포괄성(Comprehension)은 집합 A와 조건(술어) P(X)가 주어지면, A 속에서 P(X)를 만족하는 원소만 모은 부분집합 B가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ {X \in A. P(X)} }[/math]

공집합(Empty Set)아무 원소도 가지지 않는 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있으며, [math]\displaystyle{ \empty }[/math]또는 {}와 같이 표기한다:

[math]\displaystyle{ \exists A. \forall X. X\notin A }[/math]

Paring

임의의 두 집합 A, B에 대해, 이 둘을 원소로 가지는 집합이 존재하며, 이는 순서 없는 쌍(unordered pair)로 간주된다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

[math]\displaystyle{ {A, B} }[/math]

Union and Intersection

합집합(Union)이란 A 또는 B에 속하는 원소들을 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

[math]\displaystyle{ A \cup B \equiv \{X| X\in A \lor X\in B\} }[/math]

교집합이란 A와 B에 동시에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

[math]\displaystyle{ A \cap B \equiv \{X| X\in A \land X\in B\} }[/math]

Big Union and Big Intersection

대합집합(Big-∪)이란 집합 A가 집합들의 집합일 때, A의 원소들 속에 들어 있는 모든 원소들의 모임을 의미한다. 또한 대교집합(Big-∩)이이란 집합 A의 원소들 모두에 공통으로 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같은 예시를 통해 나타낼 수 있다:

[math]\displaystyle{ A = \{\{1, 2\},\{2, 3\}\} }[/math]이면
[math]\displaystyle{ \bigcup A = \{1,2,3\} }[/math]
[math]\displaystyle{ \bigcap A = \{2\} }[/math]

Powerset

멱집합(Powerset)이란 어떤 집합 A가 있을 때, A의 부분집합들 전체를 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 정의된다:

[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(A) = {X|X\subseteq A} }[/math]

예를 들어:

[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\empty) = \{\empty\} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\empty)) = \{\empty, \{\empty\}\} }[/math]

Derived Constructions

Ordered Pair

집합만으로 순서쌍 (A, B) 를 정의할 수 있으며, 이는 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ Ordered pair (A, B) = \{\{A\}, \{A, B\}\} }[/math]

이와 같은 구조를 통해서 [math]\displaystyle{ (A, B) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (B, A) }[/math]가 다른 구조가 되며, 순서를 반영할 수 있다. 이때 집합 A, B는 순서쌍 [math]\displaystyle{ (A, B) }[/math]를 통해 유일하게 결정된다. 이는 아래와 같이 설명할 수 있다:

[math]\displaystyle{ (A, B) = (C, D) \Leftrightarrow A = C, B = D }[/math]

Cartesian Product

데카르트 곱(Cartesian Product)의 정의는 아래와 같다:

[math]\displaystyle{ A \times B = \{(x, y)|x\in A, y \in B\} }[/math]

즉, A의 원소와 B의 원소로 만들 수 있는 모든 순서쌍의 집합을 의미한다. 예를 들어:

[math]\displaystyle{ A = \{1,2\}, B = \{a, b\} }[/math]이면
[math]\displaystyle{ A\times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} }[/math]

이 개념을 확정하여 튜플(tuple)을 만들수 있다. 튜플은 쉽게 말하자면 항이 세개 이상인 순서쌍이다. 예를 들어,

[math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times A_3 \rightarrow }[/math] 원소가 [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3) }[/math]꼴
[math]\displaystyle{ A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4 \rightarrow }[/math] 원소가 [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3, x_4) }[/math]꼴