(새 문서: 분류: 프로그래밍 언어 == 개요 == 순서쌍 (a,b)에 대해서 관계를 정의하고, 그 관계를 통해서 나온 == 관계 == 집합 <math>X</math> 위의 이항 관계 <math>\le</math>가 다음 관계가 있다. * Reflexive: 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\le x</math> * Anit-Reflexive: 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\not< x</math> * Transitive: 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>x\le y\le z</m...) |
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== Partial Order == | == Partial Order == | ||
어떻게 순서를 정의할 것인가. | |||
Partial Order에서는 약한 부분 순서(weak partial order)와, 강한 부분 순서(strict partial order)가 있다. 둘다 Anti-Symmetric과 Transitive를 만족하지만, Reflexive의 정의에서 다른데, 약한 부분 순서는 반사(Reflexive)를 허용하지만 강한 부분 순서는 비반사(Anti-Reflexive)를 허용한다. 즉 부분 순서 집합은 | Partial Order에서는 약한 부분 순서(weak partial order)와, 강한 부분 순서(strict partial order)가 있다. 둘다 Anti-Symmetric과 Transitive를 만족하지만, Reflexive의 정의에서 다른데, 약한 부분 순서는 반사(Reflexive)를 허용하지만 강한 부분 순서는 비반사(Anti-Reflexive)를 허용한다. 즉 부분 순서 집합은 (Anti)Relexive, Anti-Symmetric, 그리고 Transitive를 만족하는 집합이다. | ||
=== Poset === | |||
집합 D가 Partial order이면 partial order set (D, <)라고 하거나 단순히 poset이라고 한다. | |||
=== Least Upper Bound === | |||
Partial order set D 그리고 D의 부분집합 X에 대해서, 만약 d <math>\in</math>가 모든 X의 원소 x에 대해서 x < d이면 d를 upperbound라고 하며, Least upper bound는 모든 Upper bound중에서 제일 작은 원소를 말한다. 즉 자연수의 집합 [1, 10]에서 Upper bound는 11, 12 ...가 될 수 있지만, Least upper bound는 11하나 뿐이다. | |||
== Total Order == | == Total Order == | ||
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예를 들어서 {0, 1}의 subset인 공집합, {0}, {1}, 그리고 {0, 1}을 생각 해보자. Order을 원소의 개수라고 작은 순서라고 해보자. | 예를 들어서 {0, 1}의 subset인 공집합, {0}, {1}, 그리고 {0, 1}을 생각 해보자. Order을 원소의 개수라고 작은 순서라고 해보자. | ||
공집합 < {0} 그리고 {1} < {0, 1}처럼 <라는 명령어를 정의할 수 있다. 이 명령어 "<"는 Partial Order이지만 Total Order는 아닌데, 이는 {0} < {1}이 정의되지 않기 때문이다. | 공집합 < {0} 그리고 {1} < {0, 1}처럼 <라는 명령어를 정의할 수 있다. 이 명령어 "<"는 Partial Order이지만 Total Order는 아닌데, 이는 {0} < {1}이 정의되지 않기 때문이다. | ||
=== Chain === | |||
Partial ordered set D에 대해서 D의 부분집합 X가 Total order set이면 X를 Chain이라고 한다. | |||
예를 들어서 0->1->2->3->4->5 ...인 0을 포함한 양의 정수 집합이 있다고 하자. 이떄 (0) (0,1) (0,1,3)과 같은 집합들은 이 poset의 chain이다. | |||
=== Complete partial order === | |||
poset D에 대해서 D의 모든 chain X가 least upper bound를 가지고 있으면 D를 Complete partial order집합이라고 한다. | |||
Lemma: 만약 poset이 CPO면 poset은 least element를 가지며, 만약 공집합이 least element을 가지고 있다면, CPO의 least element는 공집합의 least element와 같다. | |||
=== Continuous Function === | |||
연속 함수에 대한 많은 정의가 있을 수 있지만, Partial order로도 Continouous를 정의할 수 있다. 두 poset D1 D2에 대해서 F: D1 -> D2가 모든 체인들에 대해서 least upper bound가 보존되면 이 함수를 연속이다 라고 한다. | |||
== 참고 == | == 참고 == | ||
# https://math.stackexchange.com/questions/367583/example-of-partial-order-thats-not-a-total-order-and-why | # https://math.stackexchange.com/questions/367583/example-of-partial-order-thats-not-a-total-order-and-why | ||
2023년 11월 8일 (수) 06:19 판
개요
순서쌍 (a,b)에 대해서 관계를 정의하고, 그 관계를 통해서 나온
관계
집합 [math]X[/math] 위의 이항 관계 [math]\le[/math]가 다음 관계가 있다.
- Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\le x[/math]
- Anit-Reflexive: 임의의 [math]x\in X[/math]에 대하여, [math]x\not\lt x[/math]
- Transitive: 임의의 [math]x,y,z\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le z[/math]라면 [math]x\le z[/math]
- Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y[/math]라면 [math]y\le x[/math]
- Anti-Symmetric: 임의의 [math]x,y\in X[/math]에 대하여, [math]x\le y\le x[/math]라면 [math]x=y[/math]
Equivalence (동치)
어떤것이 같다고 정의하는 가.
동치에서는 Reflexive, Trasitive, 그리고 Sysmmetric이 성립된다. 예를 들어서 a==b mod(10)관계는 동치이다. 이 경우 Anti-Symmetric은 만족하지 못한다. 예) mod 12 <= mod 22 <= mod 12 이지만, 12 == 22가 아니다.
Partial Order
어떻게 순서를 정의할 것인가.
Partial Order에서는 약한 부분 순서(weak partial order)와, 강한 부분 순서(strict partial order)가 있다. 둘다 Anti-Symmetric과 Transitive를 만족하지만, Reflexive의 정의에서 다른데, 약한 부분 순서는 반사(Reflexive)를 허용하지만 강한 부분 순서는 비반사(Anti-Reflexive)를 허용한다. 즉 부분 순서 집합은 (Anti)Relexive, Anti-Symmetric, 그리고 Transitive를 만족하는 집합이다.
Poset
집합 D가 Partial order이면 partial order set (D, <)라고 하거나 단순히 poset이라고 한다.
Least Upper Bound
Partial order set D 그리고 D의 부분집합 X에 대해서, 만약 d [math]\in[/math]가 모든 X의 원소 x에 대해서 x < d이면 d를 upperbound라고 하며, Least upper bound는 모든 Upper bound중에서 제일 작은 원소를 말한다. 즉 자연수의 집합 [1, 10]에서 Upper bound는 11, 12 ...가 될 수 있지만, Least upper bound는 11하나 뿐이다.
Total Order
Total order는 Partial order에 모든 원소는 서로 비교 가능하다는 조건인 Connectivity가 추가된 Order를 의미한다.
예를 들어서 {0, 1}의 subset인 공집합, {0}, {1}, 그리고 {0, 1}을 생각 해보자. Order을 원소의 개수라고 작은 순서라고 해보자. 공집합 < {0} 그리고 {1} < {0, 1}처럼 <라는 명령어를 정의할 수 있다. 이 명령어 "<"는 Partial Order이지만 Total Order는 아닌데, 이는 {0} < {1}이 정의되지 않기 때문이다.
Chain
Partial ordered set D에 대해서 D의 부분집합 X가 Total order set이면 X를 Chain이라고 한다.
예를 들어서 0->1->2->3->4->5 ...인 0을 포함한 양의 정수 집합이 있다고 하자. 이떄 (0) (0,1) (0,1,3)과 같은 집합들은 이 poset의 chain이다.
Complete partial order
poset D에 대해서 D의 모든 chain X가 least upper bound를 가지고 있으면 D를 Complete partial order집합이라고 한다.
Lemma: 만약 poset이 CPO면 poset은 least element를 가지며, 만약 공집합이 least element을 가지고 있다면, CPO의 least element는 공집합의 least element와 같다.
Continuous Function
연속 함수에 대한 많은 정의가 있을 수 있지만, Partial order로도 Continouous를 정의할 수 있다. 두 poset D1 D2에 대해서 F: D1 -> D2가 모든 체인들에 대해서 least upper bound가 보존되면 이 함수를 연속이다 라고 한다.