Binomial Coefficients

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개요

이항 계수(Binomial Coefficients)는 동적 프로그래밍의 고전적인 응용 중 하나이다. 이항 계수는 수학적으로 아래와 같이 정의된다:

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{k}= }[/math] "n개 중에서 k개를 선택하는 방법의 수"

이항 계수는 흔히 조합(combination)이라고 불리며, 다양한 분야에 활용된다. 예를 들어 n명의 사람 중 k명을 뽑는 경우의 수이나, n[math]\displaystyle{ \times }[/math]m 격자의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래까지, 오른쪽 또는 아래로만 이동할 수 있을 때 가능한 경로의 수를 구할 때 사용된다. 이 외에도 경로 문제, 선택 문제, 확률 계산 등 매우 다양한 문제에 등장한다.

이항 계수는 동적 프로그래밍의 전형적인 예시 중 하나이다. 왜냐하면 이항 계수는 반복되는 하위 문제 구조를 갖고 있기 때문이다. 이항 계수는 아래와 같이 계산된다:

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} }[/math]

즉, 팩토리얼을 이용하여 직접 계산할 수 있다. 하지만 이는 중간 계산에서 오버플로(overflow)가 발생한 우려가 있다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ 20! = 2,432,902,008,176,640,000 }[/math]이므로 중간 계산이 너무 커져서 자료형이 감당하지 못한다. 따라서 직접 팩토리얼 계산보다는 점화식을 이용하는 방법이 더 안전하고 효율적이다.

Pascal’s Triangle

파일:Figure 1. Pascal’s Triangle.png

Figure 1. Pascal’s Triangle

파스칼의 삼각형은 figure 2와 같은 형태를 가지고 있는 수의 배치인데, 이항 계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 파스칼의 삼각형의 배치 규칙은 그 바로 위의 두 수의 합이다. 이는 아래와 같은 관계를 시각적으로 표현한 것이다:

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k} }[/math]

바로 위 식의 파스칼의 점화식이다. 이를 직관적으로 표현하면, n번째 원소를 포함하는 경우의 수 [math]\displaystyle{ \dbinom{n-1}{k-1} }[/math]와 n번째 원소를 포함하지 않는 경우의 수 [math]\displaystyle{ \dbinom{n-1}{k} }[/math]를 합치면 n개의 원소 중에서 k개를 선택하는 경우의 수가 된다는 것이다. 이 방식의 장점은 팩토리얼 계산이 필요 없으며, 단순 덧셈 연산으로 해결 가능하므로 동적 프로그래밍 적용에 매우 적합하다는 것이다.

이를 활용하여, 이항 관계에 대한 기저 조건(base case)을 분석하면 아래와 같다:

1. [math]\displaystyle{ \dbinom{n}{0}=1 }[/math]: 아무 것도 고르지 않는 경우는 항상 1가지 (공집합)
2. [math]\displaystyle{ \dbinom{n}{n}=1 }[/math]: 모든 원소를 고르는 경우도 항상 1가지 (전체 집합)

즉, 이항 계수에 대한 점화식은 아래와 같이 구해진다:

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{k}=
 \begin{cases}
 1, & if\,\,\, k=0 or k=n \\
 \dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}, & otherwise
 \end{cases}
  }[/math]

Binomial Coefficients Implementation

아래는 위의 점화식을 C코드로 표현한 것이다:

long binomial_coefficient(int n, int k) {
    int i, j;
    long bc[MAXN+1][MAXN+1];

    // base cases
    for (i = 0; i <= n; i++)
        bc[i][0] = 1;
    for (j = 0; j <= n; j++)
        bc[j][j] = 1;

    // fill DP table using Pascal’s recurrence
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j < i; j++) {
            bc[i][j] = bc[i-1][j-1] + bc[i-1][j];
        }
    }

    return bc[n][k];
}