Sets - 편집 역사

Ahn9807: 봇: 자동으로 텍스트 교체 (-\[\[분류:컴퓨터 공학(\|[^\]]+)?\]\] +)

2026-01-15T15:24:45Z

봇: 자동으로 텍스트 교체 (-\[\[분류:컴퓨터 공학(\|[^\]]+)?\]\] +)

← 이전 판		2026년 1월 15일 (목) 15:24 판
1번째 줄:		1번째 줄:
	[[분류:계산 이론 개론]]		[[분류:계산 이론 개론]]
	~~[[분류:컴퓨터 공학]]~~
	상위 문서: [[계산 이론 개론#Mathematical Objects\|계산 이론 개론]]		상위 문서: [[계산 이론 개론#Mathematical Objects\|계산 이론 개론]]

Pinkgo: /* Countability of the Rational Numbers */

2025-10-08T09:35:43Z

Countability of the Rational Numbers

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 09:35 판
112번째 줄:		112번째 줄:
	\|		\|
	\|}		\|}
	위 표에서 대각선 ~~순서들을로~~ 하나씩 세어 나가면 <math>\mathbb{Q}</math> 전체를 열거할 수 있다. 따라서 유리수 집합 <math>\mathbb{Q}</math>은 가산 집합이다.		위 표에서 대각선 순서로 하나씩 세어 나가면 <math>\mathbb{Q}</math> 전체를 열거할 수 있다. 따라서 유리수 집합 <math>\mathbb{Q}</math>은 가산 집합이다.

	===Existence of Uncountable Sets===		===Existence of Uncountable Sets===

Pinkgo: /* Countability of the Rational Numbers */

2025-10-08T09:22:10Z

Countability of the Rational Numbers

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 09:22 판
84번째 줄:		84번째 줄:
	유리수 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 가산 집합이다. 해당 문단에서는 이를 증명한다.		유리수 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 가산 집합이다. 해당 문단에서는 이를 증명한다.
	* 유리수는 <math>p/q</math>꼴이다.<ref>이때 p, q는 정수이며, q <math>\neq</math>0 이다.</ref>		* 유리수는 <math>p/q</math>꼴이다.<ref>이때 p, q는 정수이며, q <math>\neq</math>0 이다.</ref>
	*이 분수들을 (p,q) 격자 형태로 나열하면 자연수와 일대일 ~~대응기~~ 가능하다. 이는 아래와 같은 꼴이다.		*이 분수들을 (p,q) 격자 형태로 나열하면 자연수와 일대일 대응이 가능하다. 이는 아래와 같은 꼴이다.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+

Pinkgo: /* Finite and Infinite Set */

2025-10-08T09:21:16Z

Finite and Infinite Set

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 09:21 판
65번째 줄:		65번째 줄:
	임의의 <math>f: A \rightarrow A</math>가 injection이면 곧 surjection이라는 것을 의미한다. 즉, injection과 surjection이 서로 구분되지 않는다.		임의의 <math>f: A \rightarrow A</math>가 injection이면 곧 surjection이라는 것을 의미한다. 즉, injection과 surjection이 서로 구분되지 않는다.

	이때 유한하지 않는 집합은 모두 무한(infinite)하다. 이때 무한 집합의 개념을 다른 방식으로 도출해보자. 이를 위해 어떤 수 X의 후자 집합(~~successor~~)에 대해 알아보자. X의 후자 집합이란 X 자신과 그 원소들을 모두 포함하는 집합을 의미한다. 예를 들어:		이때 유한하지 않는 집합은 모두 무한(infinite)하다. 이때 무한 집합의 개념을 다른 방식으로 도출해보자. 이를 위해 어떤 수 X의 후자 집합(succespr set)에 대해 알아보자. X의 후자 집합이란 X 자신과 그 원소들을 모두 포함하는 집합을 의미한다. 예를 들어:
	<math>S(X)=X\cup\{X\}</math>		<math>S(X)=X\cup\{X\}</math>
	<math>S(0) = \{0\} = 1</math>		<math>S(0) = \{0\} = 1</math>

Pinkgo: /* Finite and Infinite Set */

2025-10-08T09:00:17Z

Finite and Infinite Set

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 09:00 판
72번째 줄:		72번째 줄:
	이를 통해서 무한집합의 개념을 도출할 수 있다. 이는 "공집합 <math>\empty</math>를 포함하고, 해당 원소 Y가 있으면 항상 <math>S(Y)</math>또한 포함해야 한다는 집합 <math>X</math>가 존재해야 한다"는 명제로부터 이끌어낼 수 있다. 이는 수식으로 아래와 같이 표현된다:		이를 통해서 무한집합의 개념을 도출할 수 있다. 이는 "공집합 <math>\empty</math>를 포함하고, 해당 원소 Y가 있으면 항상 <math>S(Y)</math>또한 포함해야 한다는 집합 <math>X</math>가 존재해야 한다"는 명제로부터 이끌어낼 수 있다. 이는 수식으로 아래와 같이 표현된다:
	<math>\exists X. \empty \in X \land \forall Y(Y\in X \rightarrow S(Y) \in X)</math>		<math>\exists X. \empty \in X \land \forall Y(Y\in X \rightarrow S(Y) \in X)</math>

	유한집합의 무한집합과의 가장 큰 차이는 자기 자신의 진부분집합(proper subset)과 일대일 대응(bijection)을 만들 수 없다는 것이다. 예를 들어, <math>\{A\}\leftrightarrow\{B\}</math>과 같은 대응은 불가능하다. 반면 무한집합은 자기 자신의 진부분집합과도 일대일대응이 가능하다. 예를 들어 자연수 <math>\mathbb{N}</math>과 짝수 집합 <math>2\mathbb{N}</math>은 bijection <math>n \leftrightarrow 2n</math>으로 대응 가능하다.		유한집합의 무한집합과의 가장 큰 차이는 자기 자신의 진부분집합(proper subset)과 일대일 대응(bijection)을 만들 수 없다는 것이다. 예를 들어, <math>\{A\}\leftrightarrow\{B\}</math>과 같은 대응은 불가능하다. 반면 무한집합은 자기 자신의 진부분집합과도 일대일대응이 가능하다. 예를 들어 자연수 <math>\mathbb{N}</math>과 짝수 집합 <math>2\mathbb{N}</math>은 bijection <math>n \leftrightarrow 2n</math>으로 대응 가능하다.

139번째 줄:		138번째 줄:
	* 해당 <math>f</math>는 어떠한 <math>f_i</math>와도 같은 수 없으므로 나열에 포함되지 않으며, B는 비가산이다.		* 해당 <math>f</math>는 어떠한 <math>f_i</math>와도 같은 수 없으므로 나열에 포함되지 않으며, B는 비가산이다.
	이 증명은 곧 실수 집합 <math>\mathbb{R}</math>도 비가산임을 보여주는 핵심적인 아이디어이다.		이 증명은 곧 실수 집합 <math>\mathbb{R}</math>도 비가산임을 보여주는 핵심적인 아이디어이다.



	==Russell's Paradox==		==Russell's Paradox==

Pinkgo: /* Powerset */

2025-10-08T08:53:21Z

Powerset

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 08:53 판
36번째 줄:		36번째 줄:
	===Powerset===		===Powerset===
	멱집합(Powerset)이란 어떤 집합 A가 있을 때, A의 부분집합들 전체를 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 정의된다:		멱집합(Powerset)이란 어떤 집합 A가 있을 때, A의 부분집합들 전체를 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 정의된다:
	<math>\mathcal{P}(A) = {X\|X\subseteq A}</math>		<math>\mathcal{P}(A) = \{X\|X\subseteq A\}</math>
	예를 들어:		예를 들어:
	<math>\mathcal{P}(\empty) = \{\empty\}</math>		<math>\mathcal{P}(\empty) = \{\empty\}</math>

Pinkgo: /* Paring */

2025-10-08T08:23:42Z

Paring

← 이전 판		2025년 10월 8일 (수) 08:23 판
20번째 줄:		20번째 줄:
	===Paring===		===Paring===
	임의의 두 집합 A, B에 대해, 이 둘을 원소로 가지는 집합이 존재하며, 이는 순서 없는 쌍(unordered pair)로 간주된다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:		임의의 두 집합 A, B에 대해, 이 둘을 원소로 가지는 집합이 존재하며, 이는 순서 없는 쌍(unordered pair)로 간주된다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:
	<math>{A, B}</math>		<math>\{A, B\}</math>

	===Union and Intersection===		===Union and Intersection===

Pinkgo: /* Russell's Paradox */

2025-09-10T04:37:22Z

Russell's Paradox

← 이전 판		2025년 9월 10일 (수) 04:37 판
151번째 줄:		151번째 줄:
	** 따라서 모순이 발생한다.		** 따라서 모순이 발생한다.
	이런 역설을 피하려면, "어떤 것이 집합이 될 수 있는가"를 엄밀히 제한해야 한다. 이로 인해 ZFC 집합론 같은 공리 체계가 등장하였다.		이런 역설을 피하려면, "어떤 것이 집합이 될 수 있는가"를 엄밀히 제한해야 한다. 이로 인해 ZFC 집합론 같은 공리 체계가 등장하였다.

			==[[Languages]]==
			언어(language)란, 특정한 알파벳 위에서 정의된 문자열들의 집합을 말한다. 즉, 언어는 단순한 기호의 나열이 아니라, 수학적으로는 집합이라는 기본적인 수학적 객체(Mathematical Object)로 이해할 수 있다. [[Languages]] 문서에서는 이러한 언어에 대한 집합론적인 설명에 대해 다룬다.

	==각주==		==각주==

Pinkgo: /* Powerset */

2025-09-10T04:14:52Z

Powerset

← 이전 판		2025년 9월 10일 (수) 04:14 판
40번째 줄:		40번째 줄:
	<math>\mathcal{P}(\empty) = \{\empty\}</math>		<math>\mathcal{P}(\empty) = \{\empty\}</math>
	<math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(\empty)) = \{\empty, \{\empty\}\}</math>		<math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(\empty)) = \{\empty, \{\empty\}\}</math>
			멱집합에 대한 중요한 정리(theorem)들중 하나는 모든 집합 A에 대해 아래 수식이 성립한다는 것이다:
			<math>\|A\| < \|\mathcal{P}(A)\|</math>
			즉, 집합 A의 크기보다 멱집합이 항상 더 크다.

	==Derived Constructions==		==Derived Constructions==

Pinkgo: /* Existence of Uncountable Sets */

2025-09-10T04:13:03Z

Existence of Uncountable Sets

← 이전 판		2025년 9월 10일 (수) 04:13 판
118번째 줄:		118번째 줄:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+
	!~~'''~~<math>f_0(0)</math>~~'''~~		!<math>f_0(0)</math>
	!~~'''~~<math>f_0(1)</math>~~'''~~		!<math>f_0(1)</math>
	!~~'''~~<math>f_0(2)</math>~~'''~~		!<math>f_0(2)</math>
	!~~'''~~...~~'''~~		!...
	\|-		\|-
	\|~~'''~~<math>f_1(0)</math>~~'''~~		\|<math>f_1(0)</math>
	\|~~'''~~<math>f_1(1)</math>~~'''~~		\|<math>f_1(1)</math>
	\|~~'''~~<math>f_1(2)</math>~~'''~~		\|<math>f_1(2)</math>
	\|~~'''~~...~~'''~~		\|...
	\|-		\|-
	\|~~'''~~...~~'''~~		\|...
	\|~~'''~~...~~'''~~		\|...
	\|~~'''~~...~~'''~~		\|...
	\|		\|
	\|}		\|}