Ahn9807: 새 문서: 분류: 확률과 통계 분류: 지도 학습 == 개요 == 최대 우도 추정(MLE: Maximum Likelihood Estimation) 방법은 주어진 샘플 x에 대해 우도를 가장 크게 해 주는 모수 θ를 찾는 방법이다. == 방법 == 어떤 모수 $\theta$ 로 결정되는 확률변수들의 모임 $D_\theta = (X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 이 있고, $D_\theta$ 의 확률 밀도 함수나 확률 질량 함수가 $f$ 이...

2023-02-25T10:44:55Z

새 문서: 분류: 확률과 통계 분류: 지도 학습 == 개요 == 최대 우도 추정(MLE: Maximum Likelihood Estimation) 방법은 주어진 샘플 x에 대해 우도를 가장 크게 해 주는 모수 θ를 찾는 방법이다. == 방법 == 어떤 모수 <math>\theta</math>로 결정되는 확률변수들의 모임 <math>D_\theta = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math>이 있고, <math>D_\theta</math>의 확률 밀도 함수나 확률 질량 함수가 <math>f</math>이...

새 문서

[[분류: 확률과 통계]]
[[분류: 지도 학습]]

== 개요 ==
최대 우도 추정(MLE: Maximum Likelihood Estimation) 방법은 주어진 샘플 x에 대해 우도를 가장 크게 해 주는 모수 θ를 찾는 방법이다.

== 방법 ==
어떤 모수 <math>\theta</math>로 결정되는 확률변수들의 모임 <math>D_\theta = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math>이 있고, <math>D_\theta</math>의 [[확률 밀도 함수]]나 [[확률 질량 함수]]가 <math>f</math>이고, 그 확률변수들에서 각각 값 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>을 얻었을 경우, [[가능도]] <math>\mathcal{L}(\theta)</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathcal{L}(\theta) = f_{\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n)</math>
여기에서 가능도를 최대로 만드는 <math>\theta</math>는
:<math>\widehat{\theta} = \underset{\theta}{\operatorname{argmax}}\ \mathcal{L}(\theta)</math>
가 된다.

이때 <math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, <math>\mathcal{L}</math>은 다음과 같이 표현이 가능하다.
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \prod_i f_{\theta}(x_i)</math>

또한, [[로그함수]]는 [[단조 증가]]하므로, <math>\mathcal{L}</math>에 로그를 씌운 값의 최댓값은 원래 값 <math>\widehat{\theta}</math>과 같고, 이 경우 계산이 비교적 간단해진다.
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = \log \mathcal{L}(\theta) = \sum_i \log f_{\theta}(x_i)</math>

== 예제: 가우스 분포 ==
[[평균]] <math>\mu</math>와 [[분산]] <math>\sigma^2</math>의 값을 모르는 [[정규분포]]에서 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 <math>\theta = (\mu, \sigma)</math>이다. [[정규분포]]의 [[확률 밀도 함수]]가
:<math>f_{\mu, \sigma}(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
이고, <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>가 모두 독립이므로
:<math>\mathcal{L}(\theta) = \prod_i f_{\mu, \sigma}(x_i) = \prod_i \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(x_i - \mu)^2}{2 \sigma^2})</math>
양변에 로그를 씌우면
:<math>\mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{2} \log{2\pi} - n \log \sigma - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_i {(x_i - \mu)^2}</math>
가 된다. 식의 값을 최대화하는 모수를 찾기 위해, 양변을 <math>\mu</math>로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.
:<math>\frac{\partial}{\partial \mu} \mathcal{L}^*(\theta) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_i (x_i - \mu)</math>
:<math>= \frac{1}{\sigma^2} (\sum_i x_i - n \mu)</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 <math>\widehat \mu = (\sum_i x_i) / n</math>으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 <math>\sigma</math>로 편미분하면
:<math>\frac{\partial}{\partial \sigma} \mathcal{L}^*(\theta) = -\frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3} \sum_i (x_i - \mu)^2</math>
따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 다음과 같다.
:<math>\sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 / n</math>

Maximum likelihood estimation - 편집 역사