Ahn9807: 새 문서: 분류:수치 해석 == 개요 == 함수의 정적분을 해석적인 방식으로 구하는 것이 아니라 구간을 아주 작게 분할해서 근사값을 구하는 방법중 하나로써, 함수의 구간을 사다리꼴 형식으로 나눈다. == 정의 == 닫힌구간 $[t_0,t_N]$ 위의 적분 가능 함수 : $f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R$ 및 수열 : $t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N$ 이 주어졌다고 하자....

2023-03-24T11:53:03Z

새 문서: 분류:수치 해석 == 개요 == 함수의 정적분을 해석적인 방식으로 구하는 것이 아니라 구간을 아주 작게 분할해서 근사값을 구하는 방법중 하나로써, 함수의 구간을 사다리꼴 형식으로 나눈다. == 정의 == 닫힌구간 <math>[t_0,t_N]</math> 위의 적분 가능 함수 :<math>f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R</math> 및 수열 :<math>t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N</math> 이 주어졌다고 하자....

새 문서

[[분류:수치 해석]]

== 개요 ==

함수의 정적분을 해석적인 방식으로 구하는 것이 아니라 구간을 아주 작게 분할해서 근사값을 구하는 방법중 하나로써, 함수의 구간을 사다리꼴 형식으로 나눈다.

== 정의 ==
[[닫힌구간]] <math>[t_0,t_N]</math> 위의 [[적분 가능 함수]]
:<math>f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R</math>
및 수열
:<math>t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분
:<math>F = \int_{t_0}^{t_N}f(x)\,\mathrm dx</math>
의 '''사다리꼴 공식 근사'''는 다음과 같다.
:<math>\tilde F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1} - t_i) (f(t_{i+1}) + f(t_i))}2</math>
특히, <math>N=1</math>일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.
:<math>\tilde F = \frac{(t_1 - t_0)(f(t_1) + f(t_0))} 2</math>

== 성질 ==
사다리꼴 공식 근사의 오차
:<math>\tilde F - F</math>
를 생각하자. 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^2</math> 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 [[연속 함수]]라면), 다음 조건을 만족시키는 <math>\xi\in[t_0,t_N]</math>가 존재한다.
:<math>\tilde F - F = \frac1{12}f''(\xi)\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)^3 </math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음과 같은 함수들을 정의하자.
:<math>g_i \colon [0,t_{i+1}-t_i] \to \mathbb R</math>
:<math>g_i(s) = \frac12 s(f(t_i) + f(t_i+s)) - \int_{t_i}^{t_i+t}f(x)\,\mathrm dx</math>
즉,
:<math>\tilde F - F = \sum_{i=0}^{N-1} g_i(t_{i+1}-t_i)</math>
이다. 그러면
:<math>g_i(0) = g_i'(0) = g_i''(0) = 0</math>
:<math>g_i'(s) =\frac12\left(f(t_i) - f(t_i+s)\right) + \frac12sf'(t_i+s)</math>
:<math>g_i''(s) = \frac12 sf''(t_i+s)</math>
이다. 즉,
:<math>K = \min_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)</math>
:<math>L = \max_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)</math>
를 정의하면,
:<math>\frac12Ks\le g''_i(s) \le \frac12Ls</math>
이며, 이를 두 번 적분하면
:<math>\frac1{12}Ks^3 \le g_i(s) \le \frac1{12}Ls^3</math>
가 된다. 즉,
:<math>\frac K{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 \le \tilde F-F \le \frac L{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 </math>
이다. <math>f''</math>가 [[연속 함수]]라고 가정하였으므로, [[중간값 정리]]에 따라
:<math>f''(\xi) = \frac{\tilde F-F}{\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3}</math>
인 <math>\xi\in[t_0,t_N]</math>가 존재한다.
</div></div>
특히, 만약 <Math>t_i</math>들이 [[산술 수열]]을 이룬다면,
:<math>\frac1{12}\sum_{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_i)^3 = \frac{(t_N-t_0)^3}{12}N^{-2}</math>
가 된다. 즉, <math>N\to\infty</math>일 때, 오차는 <math>N^{-2}</math>의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 <math>f''</math>가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 <math>\tilde F</math>는 <math>F</math>보다 더 작으며, 반대로 <math>f'''</math>가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 <math>\tilde F</math>는 <math>F</math>보다 더 크다.

== 요약 ==
# 사다리꼴 적분은 해석적인 적분을 사다리꼴로 근사시켜서 적분한다.
# 오차는 구간크기의 3차이다.

== 같이 보기 ==
[[심슨 적분법]]

사다리꼴 공식 - 편집 역사