Ahn9807: 새 문서: 분류: 수학 ==개요== 그라디언트란 스칼라의 최대의 증가율을 나타내는 벡터를 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다. == 그라디언트의 의미 == 어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안...

2023-04-05T10:48:11Z

새 문서: 분류: 수학 ==개요== 그라디언트란 스칼라의 최대의 증가율을 나타내는 벡터를 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다. == 그라디언트의 의미 == 어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안...

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[[분류: 수학]]

==개요==
그라디언트란 스칼라의 최대의 증가율을 나타내는 벡터를 뜻한다.

기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.

== 그라디언트의 의미 ==
어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.

이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.

기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다.

기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.

== 그라디언트의 수학적 정의 ==
스칼라 함수 <math>f(x)</math>의 기울기는 <math>\boldsymbol{\nabla} f</math>로 표현한다. <math>\nabla</math> 기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 혹은 델(del)연산자라고 부른다.

기울기는 <math>f</math>의 각 성분의 [[편미분]]으로 구성된 열벡터로 정의하며 다음과 같이 표시한다.

: <math> \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right) </math>
: <math> \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) </math> (2차원 함수의 그라디언트)

예를 들어 함수
: <math>f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)</math> 의 기울기는

:<math>\boldsymbol{\nabla} f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},
{\frac{\partial f}{\partial y}},
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{2},
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}</math>이다

그라디언트 - 편집 역사