Nondeterministic Finite Automata 문서 원본 보기

[[분류:계산 이론 개론]]
[[분류:컴퓨터 공학]]

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==개요==
해당 문서는 finite automata의 한 종류인 NFA(Nondeterministic Finite Automata)에 대해 설명하고, 이를 이용한 정규 언어의 정의 방식을 설명한다.

==NFA Vs. DFA==
DFA(Deterministic Finite Automata)에서는 각 상태와 입력 심볼 쌍 (q, a)에 대해 오직 하나의 전이만 정의된다. 하지만 NFA에서는 하나의 (q,a)에 대해 여러 개의 전이가 있을 수도 있고, 전이가 전혀 없을 수도 있으며, 입력을 소모하지 않고 이동하는 ε-transition도 허용된다. 이때 수용(accept) 조건은 어떤 행운의 선택(lucky choice)"의 전이 경로라도 최종 상태에 도달하면 문자열을 accept하는 것이다. 
[[파일:Figure 1. NFA example .png|가운데|섬네일|500x500픽셀|Figure 1. NFA example ]]
이는 figure 1을 통해 설명할 수 있다. 주어진 NFA는 {0,1} 위의 문자열을 입력받아, 끝에서 세 번째 문자가 1인 문자열을 accept한다. 이러한 NFA는 아래와 같은 방식으로 작동한다:
# 계속해서 Q1에서 입력을 소비하다가,
# 어느 순간 "여기가 끝에서 세 번째 자리일 것"이라고 추측(guess)하고 Q2로 이동.
# 그 뒤 정확히 두 개 문자를 더 읽고 Q4에 도착하면 accept.
# 만약 모든 "선택과 추측"이 실패하면, 해당 문자열을 수용되지 않음

==Formal Definition of NFA==
NFA는 DFA 처럼 아래와 같은 5-튜플로 정의된다:
* <math>Q</math>: 유한 상태 집합
* <math>\Sigma</math>: 유한 입력 기호 집합(입력 알파벳)
* <math>\delta</math>: <math>Q\times (\Sigma \cup \{\epsilon\} \rightarrow \mathcal{P}(Q))</math>: 전이 함수(transition function)
** 이는 DFA의 그것과는 다르게 “다음 상태 하나”가 아니라 “가능한 다음 상태들의 집합”을 반환한다.
** ε-transition이 발행하여 입력 문자를 읽지 않고도 상태가 바뀔 수 있다.
* <math>q_0 \in Q</math>: 시작 상태(start state)
* <math>F \subseteq Q</math>: 수용 상태 집합(a set of accept states)

==Formal Definition of the Language Recognized by NFA==
문자열 <math>w \in \Sigma*</math>를 NFA <math>M</math>이 accept한다는 것은 아래와 같이 정의된다:
* <math>w</math>를 <math>w=y_1y_2\cdots y_n</math>(각 <math>y_i\in \Sigma \cup \{\epsilon\}</math>)로 분해가능하고,
* 상태열 <math>r_0,r_1,\cdots,r_n</math>이 존재하여:
** <math>r_0=q_0</math> (시작 상태)
** <math>r_{i+1} \in \delta(r_i, y_{i+1})</math> (전이 규칙을 따름)
** <math>r_n \in F</math> (accept 상태 도달)
이를 만족하는 모든 문자열들의 집합이 <math>L(M)</math>이다.

==Proof for Closure==
NFA를 이용하여 정규 언어의 기본 연산 폐쇄성(closure)를 증명할 수 있다. 

===Closure under Union===
[[파일:Figure 2. Closure under Union .png|대체글=Figure 2. Closure under Union |섬네일|Figure 2. Closure under Union ]]
증명해야 하는 것은 아래와 같다:
 <math>\forall A_1, A_2.\,\, (A_1\,\, regular \land A_2\,\, regular) \Rightarrow (A_1 \cup A_2\,\, regular)</math>
# 이를 위해 <math>A_1, A_2</math>를 인식하는 NFA <math>N_1, N_2</math>가 있다고 가정하자. 
# 새로운 NFA <math>N</math>을 하나 만든다.
# N은 새로운 시작 상태 <math>q_0</math>를 갖고, 여기서 ε-transition으로 <math>N_1,\,\, N_2</math>의 시작 상태로 이동한다.
# 그러면 <math>N</math>은 <math>N_1</math> 혹은 <math>N_2</math> 중 하나를 실행하여 문자열을 수용한다.
# 따라서 <math>N</math>이 인식하는 언어는 정확히 <math>A_1 \cup A_2</math>이다.

===Closure under Concatenation===
[[파일:Figure 3. Closure under Concatenation.png|섬네일|Figure 3. Closure under Concatenation]]
증명해야 하는 것은 아래와 같다:
 <math>\forall A_1, A_2.\,\, (A_1\,\, regular \land A_2\,\, regular) \Rightarrow (A_1 \circ A_2\,\, regular)</math>
# 이를 위해 <math>A_1, A_2</math>를 인식하는 NFA <math>N_1, N_2</math>가 있다고 가정하자. 
# 새로운 NFA <math>N</math>을 하나 만든다.
# <math>N</math>은 <math>N_1</math>의 시작 상태에서 시작한다. 
# 그리고 <math>N_1</math>의 accept된 상태들에서 ε-transition을 통해 <math>N_2</math>의 시작 상테로 넘어간다.
# 이 경우 <math>N</math>은 먼저 <math>A_1</math>에 속하는 문자열을 인식하고, 그 다음 <math>A_2</math>의 문자열을 인식한다.
# 따라서 <math>N</math>은 <math>A_1 \circ A_2</math>를 인식하게 된다.

===Closure under Star===
[[파일:Figure 4. Closure under Star.png|섬네일|Figure 4. Closure under Star]]
증명해야 하는 것은 아래와 같다: 
 <math>A*\circ A \subseteq A*</math>
# 이를 위해 <math>A</math>를 인식하는 NFA <math>N</math>이 있다고 가정하자. 
# <math>A*</math>를 인식하는 NFA <math>N'</math>을 만든다. 
# <math>N'</math>은 새로운 시작 상태와 새로운 accept 상태를 가진다. 
# 새 시작 상태에서 ε-transition으로 바로 <math>N</math>의 시작 상태나, 또는 새 accept 상태로 갈 수 있다.(→ 빈 문자열도 받아들임)
# <math>N</math>의 accept 상태들은 다시 ε-transition을 통해 <math>N</math>의 시작 상태나 최종 accept 상태로 갈 수 있다. (→ 여러 번 반복 가능)

==각주==