Chomsky Normal Form 문서 원본 보기

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==개요==
CNF(Chomsky Normal Form)는 CFG를 더욱 간단하고 증명하기 쉽게 바꾼 표준 형식이다. 모든 CFG는 CNF와 동등한 문법으로 바뀔 수 있으며, CFG가 다음 세 가지의 규칙만 가지면 CNF에 해당한다:
# <math>A \rightarrow BC</math><ref>이때 B, C는 시작 기호 S가 아니다</ref>
# <math>A \rightarrow a</math>
# <math>S \rightarrow \epsilon</math>
CFG를 CNF로 바꾸더라도 새로운 문자열이 생성되지는 않으며, 모든 grammar와 문자열이 그대로 보존된다. 

==CFG to CNF==
아래와 같이 CFG가 주어졌다고 가정하자:
 <math>S \rightarrow ASA | aB</math>
 <math>A \rightarrow B | S</math>
 <math>B \rightarrow b | \epsilon</math>

===Step 1===
CNF에서는 시작기호가 우변에 등장하면 안 되므로, 기존 시작기호 <math>S</math>를 포함하는 새 시작기호 <math>S_0</math>를 만든다. 이를 통해 모든 변환은 <math>S_0</math>에서 시작한다. 이를 통해 아래와 같은 식을 추가한다:
 <math>S_0 \rightarrow S</math>

===Step 2===
주어진 식에 <math>B \rightarrow \epsilon</math>이 존재하므로 제거해야 한다. 이를 위해서 <math>B\rightarrow \epsilon</math> 규칙을 제거하고, <math>B</math>를 포함하는 식이 유도되는 모든 규칙에서, <math>B</math>를 <math>\epsilon</math>으로 치환한 아래의 식을 추가한다:
 <math>S \rightarrow aB \rightarrow a</math>
 <math>A \rightarrow B \rightarrow \epsilon</math>
위와 같은 과정을 <math>A \rightarrow \epsilon</math> 규칙에 대해서도 동일하게 적용해야 한다. 이를 위해 해당 식을 제거하고, 아래의 식들을 추가한다:
 <math>S \rightarrow S</math>
 <math>S \rightarrow AS</math>
 <math>S \rightarrow SA</math>
또한, <math>A \rightarrow S, A \rightarrow B, S \rightarrow</math>와 같은 규칙 대신, 해당 변수들이 만들어낼 수 있는 규칙으로 대체해야 한다. 따라서 이를 일괄적으로 적용하면 아래와 같은 결과가 된다:
 <math>S \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math>
 <math>B \rightarrow b</math>
 <math>S_0 \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math> <ref><math>S_0 \rightarrow S</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>
 <math>A \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math> <ref><math>A \rightarrow S</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>
 <math>A \rightarrow b</math> <ref><math>A \rightarrow B</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>

===Step 3===
이제, CNF에서는 규칙의 오른쪽에 두개의 비단말만 가능하므로 3개 변수인 <math>ASA</math> 형태를 분해해야 한다. 이를 위해 해당 규칙을 아래와 같이 중간 비단말 <math>S_1, A_1</math>을 활용한 규칙들로 대체해야 한다.<ref>S_1, A_1과 같이 굳이 변수를 두개 추가하는 이유는 S에서 파생된 규칙과 A에서 파생된 규칙을 구분하기 위해서이다.</ref>:
 <math>S \rightarrow AS_1</math>
 <math>S_1 \rightarrow SA</math>
 <math>A \rightarrow AA_1</math>
 <math>A_1 \rightarrow SA</math>
또한, CNF에서는 단말이 반드시 단독으로만 나와야 하므로, <math>S \rightarrow aB</math>와 같은 규칙은 허용되지 않는다. 따라서 해당 규칙을 아래와 같이 중간 비단말 <math>A_2</math>을 활용한 규칙들로 대체해야 한다:
 <math>A_2 \rightarrow a</math>
 <math>S \rightarrow A_2B</math>
따라서 아래와 같이 최종적인 CNF가 도출된다:
 <math>S \rightarrow AS_1|SA|AS|A_2B|a</math>
 <math>B \rightarrow b</math>
 <math>S_0 \rightarrow AS_1|SA|AS|A_2B|a</math>
 <math>A \rightarrow AA_1|SA|AS|A_2B|a</math> 
 <math>A \rightarrow b</math> 
 <math>A_2 \rightarrow a</math>