개요
시스템이 다음과 같이 주어진경우:
- [math]\displaystyle{ \ y(t) = (h*x)(t) + n(t) }[/math]
where [math]\displaystyle{ * }[/math] denotes convolution and:
- [math]\displaystyle{ \ x(t) }[/math] 시간 [math]\displaystyle{ \ t }[/math] 에 관한 original signal.
- [math]\displaystyle{ \ h(t) }[/math] 는 x(t)와 convolution연산을 통해 계산되는 함수
- [math]\displaystyle{ \ n(t) }[/math] 추가적인 노이즈, [math]\displaystyle{ \ x(t) }[/math] 와는 독립 변수임
- [math]\displaystyle{ \ y(t) }[/math] y(t)는 현재 관측된 결과
라고 할때,
우리의 목표는 g(t)를 찾아서 x(t)를 다음과 같이 예측하는 것이다.
- [math]\displaystyle{ \ \hat{x}(t) = (g*y)(t) }[/math]
여기서 [math]\displaystyle{ \ \hat{x}(t) }[/math] 는 [math]\displaystyle{ \ x(t) }[/math]의 근사로써 MSE를 최소화하도록 구현된다.
- [math]\displaystyle{ \ \epsilon(t) = \mathbb{E} \left| x(t) - \hat{x}(t) \right|^2 }[/math],
Wiener deconvolution은 [math]\displaystyle{ \ g(t) }[/math]를 구할 수 있도록 하는데, 필터는 Frequency domain에서 정의된다.
- [math]\displaystyle{ \ G(f) = \frac{H^*(f)S(f)}{ |H(f)|^2 S(f) + N(f) } }[/math]
where:
- [math]\displaystyle{ \ G(f) }[/math] and [math]\displaystyle{ \ H(f) }[/math] are the Fourier transforms of [math]\displaystyle{ \ g(t) }[/math] and [math]\displaystyle{ \ h(t) }[/math],
- [math]\displaystyle{ \ S(f) = \mathbb{E}|X(f)|^2 }[/math] is the mean power spectral density of the original signal [math]\displaystyle{ \ x(t) }[/math],
- [math]\displaystyle{ \ N(f) = \mathbb{E}|V(f)|^2 }[/math] is the mean power spectral density of the noise [math]\displaystyle{ \ n(t) }[/math],
- [math]\displaystyle{ X(f) }[/math], [math]\displaystyle{ Y(f) }[/math], and [math]\displaystyle{ V(f) }[/math] are the Fourier transforms of [math]\displaystyle{ x(t) }[/math], and [math]\displaystyle{ y(t) }[/math], and [math]\displaystyle{ n(t) }[/math], respectively,
- the superscript [math]\displaystyle{ {}^* }[/math] denotes complex conjugation.
필터의 적용은 time domain에서 수행해도 되며, frequency도메인 에서 수행해도 된다.
- [math]\displaystyle{ \ \hat{X}(f) = G(f)Y(f) }[/math]
최종적으로는 inverse Fourier transform 을 [math]\displaystyle{ \ \hat{X}(f) }[/math] 에 대해 수행하여 [math]\displaystyle{ \ \hat{x}(t) }[/math] 를 구하게 된다.