상위 문서: 계산 이론 개론
개요
해당 문서에서는 자연수를 집합 이론을 통해 정의하는 방법을 설명한다.
Definition of Natural Numbers
자연수는 아래와 같이 집합으로 표현할 수 있다:
[math]\displaystyle{ 0 = \empty = \{\} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 = \{\empty\} = \{0\} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 = \{\empty,\{\empty\}\} = \{0,1\} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 = \{\empty, \{\empty\}, \{ \empty, \{\empty\}\}\} = \{1,2\} }[/math]
즉 자연수 n은 그보다 작은 모든 수의 집합으로 정의된다. 이는 후자 집합을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math]\displaystyle{ S(X)=X\cup\{X\} }[/math] [math]\displaystyle{ S(0) = \{0\} = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ S(1) = \{0,1\} = 2 }[/math] [math]\displaystyle{ S(2) = \{0,1,2\} = 3 }[/math]
이를 통해 Infinity Set에 대한 정의를 이용해 자연수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]을 정의할 수 있다. 이는 아래와 같다:
[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]은 위에서 설명한 성질을 만족하는 집합들 중에서 가장 작은 집합(부분집합 관계로 최소인 집합)이다.