개요
함수의 정적분을 해석적인 방식으로 구하는 것이 아니라 구간을 아주 작게 분할해서 근사값을 구하는 방법중 하나로써, 함수의 구간을 사다리꼴 형식으로 나눈다.
정의
닫힌구간 [math]\displaystyle{ [t_0,t_N] }[/math] 위의 적분 가능 함수
- [math]\displaystyle{ f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R }[/math]
및 수열
- [math]\displaystyle{ t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N }[/math]
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분
- [math]\displaystyle{ F = \int_{t_0}^{t_N}f(x)\,\mathrm dx }[/math]
의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \tilde F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1} - t_i) (f(t_{i+1}) + f(t_i))}2 }[/math]
특히, [math]\displaystyle{ N=1 }[/math]일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \tilde F = \frac{(t_1 - t_0)(f(t_1) + f(t_0))} 2 }[/math]
성질
사다리꼴 공식 근사의 오차
- [math]\displaystyle{ \tilde F - F }[/math]
를 생각하자. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathcal C^2 }[/math] 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 [math]\displaystyle{ \xi\in[t_0,t_N] }[/math]가 존재한다.
- [math]\displaystyle{ \tilde F - F = \frac1{12}f''(\xi)\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)^3 }[/math]
증명:
다음과 같은 함수들을 정의하자.
- [math]\displaystyle{ g_i \colon [0,t_{i+1}-t_i] \to \mathbb R }[/math]
- [math]\displaystyle{ g_i(s) = \frac12 s(f(t_i) + f(t_i+s)) - \int_{t_i}^{t_i+t}f(x)\,\mathrm dx }[/math]
즉,
- [math]\displaystyle{ \tilde F - F = \sum_{i=0}^{N-1} g_i(t_{i+1}-t_i) }[/math]
이다. 그러면
- [math]\displaystyle{ g_i(0) = g_i'(0) = g_i''(0) = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g_i'(s) =\frac12\left(f(t_i) - f(t_i+s)\right) + \frac12sf'(t_i+s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ g_i''(s) = \frac12 sf''(t_i+s) }[/math]
이다. 즉,
- [math]\displaystyle{ K = \min_{x\in[t_0,t_N]} f''(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ L = \max_{x\in[t_0,t_N]} f''(x) }[/math]
를 정의하면,
- [math]\displaystyle{ \frac12Ks\le g''_i(s) \le \frac12Ls }[/math]
이며, 이를 두 번 적분하면
- [math]\displaystyle{ \frac1{12}Ks^3 \le g_i(s) \le \frac1{12}Ls^3 }[/math]
가 된다. 즉,
- [math]\displaystyle{ \frac K{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 \le \tilde F-F \le \frac L{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ f'' }[/math]가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라
- [math]\displaystyle{ f''(\xi) = \frac{\tilde F-F}{\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3} }[/math]
인 [math]\displaystyle{ \xi\in[t_0,t_N] }[/math]가 존재한다.
특히, 만약 [math]\displaystyle{ t_i }[/math]들이 산술 수열을 이룬다면,
- [math]\displaystyle{ \frac1{12}\sum_{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_i)^3 = \frac{(t_N-t_0)^3}{12}N^{-2} }[/math]
가 된다. 즉, [math]\displaystyle{ N\to\infty }[/math]일 때, 오차는 [math]\displaystyle{ N^{-2} }[/math]의 속도로 0으로 수렴한다.
특히, 만약 [math]\displaystyle{ f'' }[/math]가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 [math]\displaystyle{ \tilde F }[/math]는 [math]\displaystyle{ F }[/math]보다 더 작으며, 반대로 [math]\displaystyle{ f''' }[/math]가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 [math]\displaystyle{ \tilde F }[/math]는 [math]\displaystyle{ F }[/math]보다 더 크다.
요약
- 사다리꼴 적분은 해석적인 적분을 사다리꼴로 근사시켜서 적분한다.
- 오차는 구간크기의 3차이다.