개요
그라디언트란 스칼라의 최대의 증가율을 나타내는 벡터를 뜻한다.
기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.
그라디언트의 의미
어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.
이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.
기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다.
기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.
그라디언트의 수학적 정의
스칼라 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 기울기는 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\nabla} f }[/math]로 표현한다. [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] 기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 혹은 델(del)연산자라고 부른다.
기울기는 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의하며 다음과 같이 표시한다.
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) }[/math] (2차원 함수의 그라디언트)
예를 들어 함수
- [math]\displaystyle{ f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z) }[/math] 의 기울기는
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\nabla} f= \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix} }[/math]이다