Edit Distance

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개요

문자열을 비교할 때는 오탈자가 있는 문자열을 고려해야 하는 경우가 있으며, 이를 위해서 근사(approximate) 매칭이 필요하다. 이를 위해서 두 문자열이 얼마나 다른지를 측정하는 척도가 필요하며, 이를 Edit Distance라고 한다. 이는 문자열 A를 문자열 B로 바꾸기 위해 필요한 최소 변경 횟수에 해당한다. Edit Distance는 보통 세 가지 연산을 기반으로 한다:

1. Substitution (치환): 한 글자를 다른 글자로 바꾸기
2. Insertion (삽입): 문자 하나를 새로 삽입
3. Deletion (삭제): 문자 하나 삭제

Simple Recursive Algorithm

Edit Distance 계산은 문자열 뒤에서부터 비교하면서 재귀적으로 해결할 수 있다. 이는 두 문자열 두 문자열 S[1..i], T[1..j]이 있을때 마지막 문자를 비교하여 해결할 수 있다. 만약 비교하는 두 문자가 같으면 비용 증가 없이 이전 문제로 이동한다. 반면 두 문자가 다른 경우에는 substitution을 통해 Edit Distance를 1 증가시킨다.

Recurrence Relation

위에서 설명한 원리를 점화식으로 풀면 아래와 같다:

$D[i,j]$ is minimum of:
• $D[i-1,j-1]$ if $S[i]=T[j]$: 둘이 같으면 비용 추가 안 됨
• $D[i-1,j-1]+1$ if $S[i]\ne T[j]$: 둘이 다르면 substitution 필요
• $D[i,j-1]+1$ for an insertion into $S$: T에서 문자를 하나 가져오는 경우(insertion)
• $D[i-1,j]+1$ for a deletion from $S$: S에서 문자를 하나 버리는 경우(deletion)

Recursive Edit Distance Code

아래는 단순 재귀 기반의 알고리즘을 C 코드로 옮긴 예시이다:

#define MATCH   0      /* enumerated type symbol for match */
#define INSERT  1      /* enumerated type symbol for insert */
#define DELETE  2      /* enumerated type symbol for delete */

int string_compare_r(char *s, char *t, int i, int j) {
    int k;             /* counter */
    int opt[3];        /* cost of the three options */
    int lowest_cost;   /* lowest cost */

    if (i == 0) {      /* indel is the cost of an insertion or deletion */
        return (j * indel(' '));
    }

    if (j == 0) {
        return (i * indel(' '));
    }

    /* match is the cost of a match/substitution */

    opt[MATCH]  = string_compare_r(s, t, i-1, j-1) + match(s[i], t[j]);
    opt[INSERT] = string_compare_r(s, t, i,   j-1) + indel(t[j]);
    opt[DELETE] = string_compare_r(s, t, i-1, j  ) + indel(s[i]);

    lowest_cost = opt[MATCH];

    for (k = INSERT; k <= DELETE; k++) {
        if (opt[k] < lowest_cost) {
            lowest_cost = opt[k];
        }
    }

    return (lowest_cost);
}

Recursive Algorithm Using DP

위에서 구현한 단순한 재귀 알고리즘은