Sets

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개요

집합은 수학의 데이터 구조라고 할 수 있으며, 모든 수학적 객체는 순수 집합(pure sets)로부터 구성할 수 있다. 집합론은 작은 공리(axioms)들과 추론 규칙(rule of inference)를 통해 공식화될 수 있다.

Properties of Sets

Extensionality

집합론은 1차 논리(first-order logic)로 표현 가능하며, 이를 위한 기본 술어(predicates)는 $\in ,=$이다. 이에 따라 두 집합이 같다는 것과 부분 집합 관계를 아래와 같이 표현할 수 있다:

$A=B\equiv \mathrm{\forall }X.X\in A\leftrightarrow X\in B$
$A\subseteq B\equiv \mathrm{\forall }X.X\in A\to X\in B$

Comprehension and Empty Set

포괄성(Comprehension)은 집합 A와 조건(술어) P(X)가 주어지면, A 속에서 P(X)를 만족하는 원소만 모은 부분집합 B가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$X\in A.P(X)$

공집합(Empty Set)아무 원소도 가지지 않는 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타낼 수 있으며, $\mathrm{\varnothing }$또는 {}와 같이 표기한다:

$\mathrm{\exists }A.\mathrm{\forall }X.X\notin A$

Paring

임의의 두 집합 A, B에 대해, 이 둘을 원소로 가지는 집합이 존재하며, 이는 순서 없는 쌍(unordered pair)로 간주된다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

$A,B$

Union and Intersection

합집합(Union)이란 A 또는 B에 속하는 원소들을 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

$A\cup B\equiv \{X|X\in A\vee X\in B\}$

교집합이란 A와 B에 동시에 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 나타내어 진다:

$A\cap B\equiv \{X|X\in A\wedge X\in B\}$

Big Union and Big Intersection

대합집합(Big-∪)이란 집합 A가 집합들의 집합일 때, A의 원소들 속에 들어 있는 모든 원소들의 모임을 의미한다. 또한 대교집합(Big-∩)이이란 집합 A의 원소들 모두에 공통으로 속하는 원소들의 집합을 의미한다. 이는 아래와 같은 예시를 통해 나타낼 수 있다:

$A=\{\{1,2\},\{2,3\}\}$이면
$\bigcup A=\{1,2,3\}$
$\bigcap A=\{2\}$

Powerset

멱집합(Powerset)이란 어떤 집합 A가 있을 때, A의 부분집합들 전체를 모은 집합을 의미한다. 이는 아래와 같이 정의된다:

${𝒫}(A)=X|X\subseteq A$

예를 들어:

${𝒫}(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}$
${𝒫}({𝒫}(\mathrm{\varnothing }))=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$