Natural Numbers

상위 문서: 계산 이론 개론

개요

해당 문서에서는 자연수를 집합 이론을 통해 정의하는 방법을 설명한다.

Definition of Natural Numbers

자연수는 아래와 같이 집합으로 표현할 수 있다:

$0=\mathrm{\varnothing }=\{\}$
$1=\{\mathrm{\varnothing }\}=0$
$2=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}=\{0,1\}$
$3=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}=\{1,2,3\}$

즉 자연수 n은 그보다 작은 모든 수의 집합으로 정의된다. 이는 후자 집합을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$S(X)=X\cup \{X\}$
$S(0)=\{0\}=1$
$S(1)=\{0,1\}=2$
$S(2)=\{0,1,2\}=3$

이를 통해 Infinity Set에 대한 정의를 이용해 자연수 집합 $\mathbb{\mathbb{N}}$을 정의할 수 있다. 이는 아래와 같다:

$\mathbb{\mathbb{N}}$은 위에서 설명한 성질을 만족하는 집합들 중에서 가장 작은 집합(부분집합 관계로 최소인 집합)이다.