Chomsky Normal Form 문서 원본 보기

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==개요==
CNF(Chomsky Normal Form)는 [[Grammars#Context-Free Languages|CFG]]를 더욱 간단하고 증명하기 쉽게 바꾼 표준 형식이다. 모든 CFG는 CNF와 동등한 문법([[Grammars]])으로 바뀔 수 있으며, CFG가 다음 세 가지의 규칙만 가지면 CNF에 해당한다:
# <math>A \rightarrow BC</math><ref>이때 B, C는 시작 기호 S가 아니다</ref>
# <math>A \rightarrow a</math>
# <math>S \rightarrow \epsilon</math>
CFG를 CNF로 바꾸더라도 새로운 문자열이 생성되지는 않으며, 모든 grammar와 문자열이 그대로 보존된다. 

==CFG to CNF==
아래와 같이 CFG가 주어졌다고 가정하자:
 <math>S \rightarrow ASA | aB</math>
 <math>A \rightarrow B | S</math>
 <math>B \rightarrow b | \epsilon</math>

===Step 1===
CNF에서는 시작기호가 우변에 등장하면 안 되므로, 기존 시작기호 <math>S</math>를 포함하는 새 시작기호 <math>S_0</math>를 만든다. 이를 통해 모든 변환은 <math>S_0</math>에서 시작한다. 이를 통해 아래와 같은 식을 추가한다:
 <math>S_0 \rightarrow S</math>

===Step 2===
주어진 식에 <math>B \rightarrow \epsilon</math>이 존재하므로 제거해야 한다. 이를 위해서 <math>B\rightarrow \epsilon</math> 규칙을 제거하고, <math>B</math>를 포함하는 식이 유도되는 모든 규칙에서, <math>B</math>를 <math>\epsilon</math>으로 치환한 아래의 식을 추가한다:
 <math>S \rightarrow aB \rightarrow a</math>
 <math>A \rightarrow B \rightarrow \epsilon</math>
위와 같은 과정을 <math>A \rightarrow \epsilon</math> 규칙에 대해서도 동일하게 적용해야 한다. 이를 위해 해당 식을 제거하고, 아래의 식들을 추가한다:
 <math>S \rightarrow S</math>
 <math>S \rightarrow AS</math>
 <math>S \rightarrow SA</math>
또한, <math>A \rightarrow S, A \rightarrow B, S \rightarrow</math>와 같은 규칙 대신, 해당 변수들이 만들어낼 수 있는 규칙으로 대체해야 한다. 따라서 이를 일괄적으로 적용하면 아래와 같은 결과가 된다:
 <math>S \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math>
 <math>B \rightarrow b</math>
 <math>S_0 \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math> <ref><math>S_0 \rightarrow S</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>
 <math>A \rightarrow ASA|SA|AS|aB|a</math> <ref><math>A \rightarrow S</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>
 <math>A \rightarrow b</math> <ref><math>A \rightarrow B</math> 규칙을 삭제하며 추가</ref>

===Step 3===
이제, CNF에서는 규칙의 오른쪽에 두개의 비단말만 가능하므로 3개 변수인 <math>ASA</math> 형태를 분해해야 한다. 이를 위해 해당 규칙을 아래와 같이 중간 비단말 <math>S_1, A_1</math>을 활용한 규칙들로 대체해야 한다.<ref>S_1, A_1과 같이 굳이 변수를 두개 추가하는 이유는 S에서 파생된 규칙과 A에서 파생된 규칙을 구분하기 위해서이다.</ref>:
 <math>S \rightarrow AS_1</math>
 <math>S_1 \rightarrow SA</math>
 <math>A \rightarrow AA_1</math>
 <math>A_1 \rightarrow SA</math>
또한, CNF에서는 단말이 반드시 단독으로만 나와야 하므로, <math>S \rightarrow aB</math>와 같은 규칙은 허용되지 않는다. 따라서 해당 규칙을 아래와 같이 중간 비단말 <math>A_2</math>을 활용한 규칙들로 대체해야 한다:
 <math>A_2 \rightarrow a</math>
 <math>S \rightarrow A_2B</math>
따라서 아래와 같이 최종적인 CNF가 도출된다:
 <math>S \rightarrow AS_1|SA|AS|A_2B|a</math>
 <math>B \rightarrow b</math>
 <math>S_0 \rightarrow AS_1|SA|AS|A_2B|a</math>
 <math>A \rightarrow AA_1|SA|AS|A_2B|a</math> 
 <math>A \rightarrow b</math> 
 <math>A_2 \rightarrow a</math>

==CYK Algorithm==
CNF으로 변환된 문법을 기반으로, 주어진 문자열이 언어 <math>L</math>에 속하는지를 결정론적으로(deterministic) 판단할 수 있다. 이때 recognizer라는 개념이 등장하는데, recognizer는 문자열 <math>w</math>를 입력받아, 그 문자열이 언어 <math>L</math>에 속하는지 여부를 판별하는 알고리즘이다. 이때 아래와 같이 수식이 정의된다:
* <math>L = L(G)</math><ref>즉, <math>L</math>이 생성하는 언어를 의미한다.</ref>
* <math>w = w_1w_2\cdots w_n</math>
* <math>D(i, l, A) = true \leftrightarrow A \Rightarrow* w_iw_{i+1}\cdots w_{i+l-1}</math><ref>이는 비단말 <math>A</math>가 <math>w</math>의 i번째 문자부터 길이 <math>l</math>만큼의 부분 문자열을 생성할 수 있으면 true라는 의미이다.</ref>
즉, 위에서 <math>D(i, l, A)</math>은 "비단말 <math>A</math>가 <math>w</math>의 특정 구간을 유도할 수 있는가?"를 기록하는 boolean 테이블이다. 아래는 <math>D(i, l, A)</math>가 true가 되는 두가지 경우이다:
# 문법에 규칙 <math>A \rightarrow a</math>가 존재하는 경우
#* 입력 문자열의 i번째 문자가 <math>a</math>이며 <math>l = 1</math>
# 문법에 규칙 <math>A \rightarrow BC</math>이 존재하는 경우, 어떤 분할점 <math>k\,\, (1 \le k < l)</math>에 아래 두 조건이 모두 참
#* <math>D(i,k,B)</math>
#* <math>D(i+k, l-k, C)</math>
즉, A가 길이 l의 부분문자열을 만들 수 있으려면 좌측 비단말 B가 앞쪽 부분, 우측 비단말 C가 뒷부분을 생성할 수 있어야 한다. 이때 아래와 같은 명제가 성립한다:
 <math>w \in L \Leftrightarrow (w = \epsilon \land S \rightarrow \epsilon) \lor D(1, |w|, S)</math>
CYK(Cocke–Younger–Kasami) 알고리즘은 CFL(Context-Free Language)를 인식하기 위한 동적 프로그래밍 기반의 알고리즘이다. 

<math></math>
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==각주==