Regular Expressions 문서 원본 보기

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==개요==
정규 표현식(regular expression)은 문자열에서 특정한 패턴을 찾거나 치환·검증하기 위해 사용하는 표현식이다. 

==Formal Definition of Regular Expressions==
정규 표현식 집합 <math>\mathcal{RE}</math>는 알파벳 집합 <math>\Sigma</math>에 대해 아래의 닫힘 조건(closure conditions)을 만족하는 최소 집합을 의미한다:
# <math>a \in \mathcal{RE},\,\, \forall a \in \Sigma</math>
# 빈 문자열 <math>\epsilon</math>에 대해, <math>\epsilon \in \mathcal{RE}</math>
# 어떤 문자열도 포함하지 않는 공집합 <math>\empty</math>에 대해, <math>\empty \in \mathcal{RE}</math>
# Union: If <math>R_1 \in \mathcal{RE}, R_2 \in \mathcal{RE}</math>, then <math>(R_1 \cup R_2) \in \mathcal{RE}</math>
# Concatenation: If <math>R_1 \in \mathcal{RE}, R_2 \in \mathcal{RE}</math>, then <math>(R_1 \circ R_2) \in \mathcal{RE}</math>
# Kleene Star: If <math>R_1 \in \mathcal{RE}</math>, then <math>(R_1*) \in \mathcal{RE}</math>
이때 정규 표현식은 단순히 문자열(strings)이며, <math>\{\empty, \epsilon, (, ), \cup, \circ, *\} \cup \Sigma</math>라는 알파벳 집합 위에서 정의된다. 따라서, <math>a \cup b</math>라는 정규표현식이 문자열로 해석되어 단순히 알파벳 <math>a,\cup,b</math>의 조합인지, 혹은 정규표현식 <math>a, b</math>의 합집합으로 해석되는지는 맥락에 따라 달라진다.

===Structural Induction for RE===
어떤 성질 P(R)이 모든 정규 표현식 R에 대해 성립함을 보이고 싶다면 먼저, 아래와 같은 기본 케이스를 규정해야 한다:
 1. <math>P(a), \forall a \in \Sigma</math> 
 2. <math>P(\epsilon), P(\empty)</math>
이를 바탕으로 두 <math>\mathcal{RE}\,\, R_1, R_2</math>에 대해 <math>P(R_1), P(R_2)</math>가 성립한다고 가정하면, 아래도 성립함을 보인다:
 1. <math>P(R_1 \cup R_2)</math>
 2. <math>P(R_1 \circ R_2)</math>
 3. <math>P((R_1*))</math>
이 과정을 거치면 P(R)은 모든 정규 표현식 R에 대해 참이라는 결론을 얻을 수 있다.

===The Language Denoted by a Regular Expression===
아래는 정규 표현식 R이 나타내는 언어 L(R)을 귀납적으로 정의한 것이다:
* <math>L(a) = \{a\}</math> → 단일 문자열 { "a" }.
* <math>L(\empty) = \empty</math> → 아무 문자열도 없음.
* <math>L(\epsilon) = \epsilon</math> → 오직 빈 문자열 하나만.
* <math>L(R_1 \cup R_2) = L(R_1) \cup L(R_2)</math>
* <math>L(R_1 \circ R_2) = L(R_1) \circ L(R_2)</math> → R1의 문자열과 R2의 문자열을 이어붙여 생성.
* <math>L(R_1*) = (L(R_1))*</math> → R1이 만드는 문자열들의 0번 이상의 반복.
이때 아래와 같은 중요한 정리(Lemma)가 존재한다.
  For all regular expressions R the language L(R) is a regular language.
이를 증명하기 위해서는 구조적 귀납법(Structural Induction)을 사용하며, 이는 아래와 같은 단계를 거친다.

===Simplifying Operators===
연산자 우선순위를 설정하여 괄호를 생략할 수 있는데, 그 순서는 <math>\cup < \circ < *</math>(Kleene Star)와 같다. 또한 <math>\circ</math> 기호를 생략하여 보통 문자열 처럼 붙여 쓸 수 있다. 따라서, <math>01*</math>과 같은 정규 표현식은 <math>0\circ(1*)</math>과 같다. 또한 아래는 복잡한 정규 표현식을 단순화한 예시이다.
 <math>R \equiv (0 \cup(1\cup(0(((0\cup1)*)0))\cup(1(((0\cup1)*)1))))</math>
 <math>R \equiv 0 \cup 1\cup 0(0\cup1)*0\cup1(0\cup1)*1</math>
위의 예시는 사람이 읽기에 훨씬 편하도록 R을 만든 것이다. 이는 연산자 우선순위 규칙과 괄호 생략 규칙을 도입한 이유이다.
<math></math>
<math></math>
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==각주==